関数解析や作用素環の分野の反例集を捕捉した。
http://t.co/e8OoHBaIpu
— れんま(66%) (@tononro) 2014, 6月 12
私が書いている 数学の教科書 の反例の所にもこれを突っ込みたい.いま新入生向け線型代数セミナーでやった内容を Kindle で出そうと思って
https://github.com/phasetr/kindle-linear-algebra-for-newcomers をやっている.
販売するが, 内容自体はフルオープンでやる.
Kindle は宣伝に使うイメージでやってみる
@phasetr https://github.com/phasetr/kindle-linear-algebra-for-newcomers に epub ファイルを置いてみた.
実際に Kindle に出す前にチェックして頂ける方がいればご確認頂きたい.
式 (の画像) が小さいとかそういう欠点が既に分かっている.
フーリエ変換で熱方程式を解いた, フーリエの記念碑的論文『熱の解析的理論』 (1822) p334 https://archive.org/stream/thorieanalytiq00four#page/334/mode/2up 定積分で積分記号の上下に積分区間 \(\[a,b\]\) を書いた流儀を始めたのもフーリエ.よく知らないがそうだったのか的なアレがある. とりあえずメモして共有だ.
「量子現象の数理」ぱらぱらながめてたらめちゃくちゃ高まったので勉強追いついたら買おうと思ったThomas-Fermi, 一応やろうとは思っていたのをずっとサボっていたのでこの機会に勉強しよう. いつどこでセミナーするかとか全く決めていないが興味ある向きはご連絡頂きたい.
@yuki_migo セミナーしましょう
@phasetr 作用素論で死にそうになってるので量子現象まではまだちょっとかかりそうです. 二章は加藤 Rellich あたりまでちょっと眺めたんですが
@yuki_migo 作用素論は何をやっているのでしょうか. 量子力学系の作用素論, あまり数学的に標準的な作用素論ではないと思うので. (標準的な方は hypo normal な作用素とか行列不等式とかそういうのやっているイメージ)
@phasetr 最近変分法まわりしか勉強してないのでアレですが詳し目の関数解析の本に書いてあるような基本的なことですよ. 半群とかあんまりやってなかったので.
@yuki_migo 何するかによりますが, 新井先生の本関係の量子力学なら, ユニタリ群の話がメインです. 半群のかちっとした話はあまり使いません. 基底状態の解析関係で熱半群は少し使いますが, 一般論かちっとと言う感じではないので
@phasetr 数学的に興味が向いてるのが PDE 方面なので新井先生とはちょっとちがうかもしれないことは最近気づきはじめています
@yuki_migo PDE ならもっとシュレディンガーかっちりやった方がいいのではないか感. 散乱理論だともう少し作用素論っぽいこともあるとは思います. 実解析的な方向なら Lieb っぽい方向でしょう
@phasetr なるほど. Schrodinger かっちりやってる本ってどんなのでしょう. Lieb の Analysis だと触り程度な感じがしますが
@yuki_migo 数学でのシュレディンガーは時間依存の方程式を扱うので, Lieb の方向と全然違う印象があります. 数学方面のシュレディンガーは全然知りません. その方向だと東大の中村先生とか早稲田の小澤先生とかいるので, 本当に興味があるなら相談してみてはどうでしょう
@yuki_migo あと非線型シュレディンガーと線型シュレディンガーとで大分変わると思います. Ginzburg-Landau とか GP とか, 関係する方程式も色々ありますし, ランダム磁場付きシュレディンガーとか何とか色々
@yuki_migo 読んでないからよく分からないのですが, 中村先生の http://www.amazon.co.jp/dp/4320015789 とか? あとはその参考文献から調べてみるとか
@phasetr ふむふむ. とりあえずつぎ大学行ったとき図書館あさりますかね. ありがとうございます
@yuki_migo 思い出したのですが, シュレディンガーと言うか実際に研究がある量子力学関係の PDE として, BCS だとか Ginzburg-Landau, Gross-Pitaevski などあるので, その辺参照すればいいのでは説もあります
@yuki_migo GL は北大の神保先生などがやっています http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/sympo/090113/program.html あと GP は http://arxiv.org/abs/cond-mat/0610117 にも記述があります
@yuki_migo PDE 的なことしたいなら, 何と言うか, 実解析的なことをやった方が多分良くて, 新井先生方面の作用素論をやっていてもあまり役に立たないのでは感. 雰囲気知りたいと言う話なら, 何かセミナー的なアレやってもよいです
@phasetr 実解析的なのっていまいちどういうことかわかってないのでセミナーしてもらいたいです
@yuki_migo それっぽい方向で知っていて簡単な文献もっているのは Lieb-Loss Analysis での TF functional まわりとか物質の安定性位なのですがその周囲でいいですか. 能力的に出来るの恐らく TF がギリで, あまり PDE っぽい話ではなくて申し訳ないのですが
@phasetr 実際そのあたり読んでておもしろいのでおねがいしたいにゃんです
@yuki_migo ならばひとまず TF で. この辺, 微分幾何とかでも出てくるようなアレで, 要は変分的にエネルギー汎関数の値が基底エネルギーだとか物理的に大事なアレになっていて, その停留点 (とそこでの値) を調べるのに (非線型の) 微分方程式を解く必要が, とかそんなやつです
@phasetr 微分幾何の知識がないほうのゆきみんでした. このごろ Lieb-Loss の Ch11 読んでてそのあたり変分変分してておもしろいですね. せいぜい教養レベルの量子の知識しかないので物理的なことがよくわかってないんですが. 場所どうしましょ
@yuki_migo 誰かを適当に巻き込んで適当な大学でやりましょう. 微分幾何関係は解析力学と変分と言ってもいいです. 幾何学的変分問題の 1 章見るといいです. 物理知らなくてもとりあえず数学できると思いますが, ある程度保補足する予定の市民
数学的に書かれた統計力学の本読みたみ新井先生の量子統計の本はこれ.
@slip001 このツイートしばらくしたら相転移 P のリプライが来そうな気がする笑
@wr_r イケメン相転移 P さんからのリプレイとかうれしい\(// ∇//)\
@slip001 @wr_r 学生のころ田崎さんに聞いたことがありますが, 最低限私よりも数学できないと読めないような本で, しかもめちゃくちゃ読みにくい本しかないです. 強いていうなら新井先生の本ですが, あれは「量子統計の数学」であって「数学的な色彩の強い物理の本」ではないので
@slip001 @wr_r 滅茶苦茶読みづらいといったのが http://www.amazon.co.jp/dp/9810238622 です. 田崎さんが若い頃からある本ですが, 碌なものではないのでお勧めはしません.
@slip001 @wr_r http://phasetr.blogspot.jp/2013/11/4.html にある Bratteli-Robinson が量子統計の数学で一番有名でかつ読みやすい本です. ただ数学科レベルで関数解析できないとだめで, 量も膨大なので拾い読みできるだけのモノがないとつらいです
@slip001 @wr_r 近刊とうわさの田崎・原のイジングが一番読みやすい (読みやすくなる) はずです. もちろんイジングに特化した話になりますが, 相転移・臨界現象を学ぶにはいいはず (と信じている)
@slip001 @wr_r Bratteli-Robinson は私も必要なところしか読んでおらず, それも本当に適宜つまみ食いという感じが強いです. 必要なのである程度はまとめて読んだところとそうでないところの差が激しいので. 原・田崎の完成を待つのが一番無難という感
@slip001 @wr_r あとおそらく一番根本的な問題として, 基礎的な部分で色々な数学的困難を抱えていて数学的にきちんと議論できる統計力学の話題自体ほとんどないので, 最低限の勉強をした後はもうほぼ研究ベースの話になってしまうでしょう. それも物理としては無残なのに数学的に辛い話
(量子) 統計がどれだけつらいかというと, 平衡状態の定義をするだけで作用素環の至宝, 冨田-竹崎理論が必要になるというところ. 今となってはそこまで絶望的に学習が困難という話ではないが, 物理的にあって当然の概念のために作用素環の基礎理論を 1 つ用意する必要がある程度に処理が面倒というアレ本当, 誰か研究に協力してほしい.
@phasetr あと修士修了後しばらくやっていて全然できなくていったん止めた話だが, ハバードモデルの基底状態の存在とかもかなりきつい. 要は具体的なモデルを何か取ってそれを詳しく調べましょうみたいな話も格子模型のレベルでほぼ絶望. スピン系が扱えることが既に奇跡と言っていいのでは感
@phasetr 基底状態の存在という話では, 場の理論での【発散の困難】的な話題も絡んでくるし, 物質の安定性の観点からの基底エネルギーの評価 (エネルギーの示量性とも関係) とか, 基本的なところで問題山積みでどうにもならない
@phasetr 「基礎が分からなくても応用はできる」というアレがあるかもしれない, と思われても, 具体的なモデルの解析はもっと難しいので手がつけられる簡単なところから, というそこの段階で詰まっているのが現状なのでどうにもならない
@phasetr むしろ問題をいくつかあげるから研究してほしい
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1100-12.pdf 近寄りたくないwはじめて Gowers の話を聞いたとき, まず一般の Banach 空間論の研究をやっている人がまだいるということに衝撃を受けた. \(C^*\) や von Neumann 環も Banach 空間ではあるが, 作用素環というまた別のラインの話だし, こう色々と衝撃を受ける. フィールズのときの紹介で, 証明も組み合わせ論など純関数解析的な話以外も駆使したとか書いてあって, 何をやっているのだ的な感じがあり, 戦慄した. 関数解析怖い.
van Mill の "Infinite-Dimensional Topology" http://www.amazon.co.jp/dp/0444871330/ 読んでたら強無限次元の完備な全不連結空間とか超限次元を持たないけど弱無限次元のコンパクト空間の例とか載ってたのでしっかり理解しとこう.無限次元トポロジー, 魔界.
【疑問】アレクサンドロフの問題 (1951) の一般化:コンパクト可分距離空間が遺伝的弱無限次元ならば必ず零次元部分空間の可算和となるか? いや, どちらかといえば反例が欲しいんですが.
ってかヒルベルト・キューブを可算個の全不連結空間の和として分解するのって無理だと勝手に思ってたんですが可能なのかなー. いや, 零次元空間の可算和にするのが無理ってことは簡単に分かるんですが, 無限次元トポロジー本読んでたら, 無限次元の全不連結空間とか出て来るし自信なくなってきた.
アレクサンドロフの問題の Pol による反例は, 変な強無限次元空間のコンパクト化として作るから, 当然, 強無限次元空間を部分空間として含むわけで, 遺伝的弱無限次元にならないんですよねー
E. Pol "高次元遺伝的分解不可能連続体の比較不可能なフレシェ型を持つ族"http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864104001695 遺伝的強無限次元カントール多様体の非可算族で, フレシェ次元型が反鎖になっているものの作り方がここに載ってた.
「ヒルベルト・キューブを埋め込めない非可算次元ポーランド空間ってどうやって作るんだよ! 」という疑問から始まり, 自力では構成を思いつかず, 「非可算次元ポーランド空間のフレシェ次元型は唯一なんじゃないか」という楽観的な予想をして色々調べていたけど, 無限次元トポロジーの闇は深かった.
Baire のカテゴリ定理を使わずに一様有界性原理を証明してる人がいた (http://arxiv.org/abs/1005.1585 ). やばそう誰かと思ったら Alan Sokal だった. これは ソーカル事件, 『「知」の欺瞞』 の Socal だ.
Banach 空間病的すぎるだろ…志賀先生の本はこれだ. ハイパー面白いのでとにかく買って読むべき.
@Lyirth あまりよく知らないのですが, バナッハ空間は多様な微分方程式を制御するために出てきた, 多様なものを許容する空間とかいう話を聞いたことがあります. 作用素環もバナッハ空間ですが, 環構造と対合と特殊なノルムをつけてすらどうにもならないヤバい空間で小粋という理解
@Lyirth 何に書いてあるか思い出したので調べたのですが, \(\ell^2\) の原点にあった積分方程式とそのための関数空間, 線型作用素論を展開するためにバナッハが導入した, という話のようです. 志賀先生の「無限からの光芒」 p116-117 に書いてあります
@Lyirth この本, 竹崎先生も名著と呼ぶスーパーよい本で, 私も学部 1 年で細部が全く訳分からないのに読んで感銘を受け, 院で数学に行ったというところで深い影響を受けているスーパー面白い本なので, 未読なら是非読んで下さい
@Lyirth 昨日からやっているサマースクール数理物理でちょうど議論しているところですが, フラットな時空上での相対論的な方だと収束評価が死ぬほどつらくてどうにもなっていないというのが率直なところです. 非相対論ならある程度は制御できています. あくまである程度は
@phasetr 実をいうと覚えてないと思いますが \(C^*\) 環を始めたのは「ユニタリ化と局所コンパクト空間の一点コンパクト化」が対応しているということを 市民さんから一年以上前に聞いたのが C*に興味を持ったきっかけで C*の門を叩いたこのタイミングでもう一度お話を聞けるのは幸せです.
@Lyirth それ覚えています. 今日河東先生が AQFT の共形場周辺をやっているのは河東先生の他, Longo とその学生くらいしかいないのでもっと増えてほしい的なことを言っていました. 場の理論であるのはもちろん, 頂点代数作用素等色々な数学が絡む面白い所なので目指されては
@phasetr 読みます. ありがとうございます! (ところでもし面倒でなければ教えて頂きたいのですが (基本的な内容で申し訳ありせん) Banach 空間 A=B+C (直和) と書けるときに B が閉→ C は閉って反例あるのでしょうか?)
@Lyirth ちなみにこの本, 前半でカントル集合とか他にもこう色々一見関数解析と関係なさげで基礎的な話が出てきますが, 作用素環だと意外とその辺かなりクリティカルで, カントルに関しては千葉大の松井さんの研究対象にもなっている程度ですhttp://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matui/
@phasetr 嬉しいです! 最近楽しいなと思っていたのですがますます心惹かれた気がします. とりあえず, Murphy の \(C^*\) algebra を読んでみようと思います. もし読み終えることができたらオススメの本をお聞きするかもしれませんがそのときはお願いします.
@Lyirth まだ証明つけていないのですが, 日合-柳の「ヒルベルト空間と線型作用素」 P29, 演習問題 12 として【直和ノルム空間 X+Y がバナッハである必要十分条件が X,Y ともにバナッハである】とあるので, 反例ないのではないでしょうか
@phasetr 直和ノルムではなく, \(X+Y\) にノルムを入れてそれを \(X\) 上 \(Y\) 上に制限するときに元のノルムと制限から作られた直和ノルムが同型ならそうだと思います. もしそうでないなら一般の場合にも言えるのでしょうか? (続け様にすみません汗
@Lyirth まだ同型になる場合の証明をつけていないのでアレですが, まずは同型になってしまう理由からきちんと調べたいところです. あとは一般の位相空間や位相群でも類似の問題を考えて様子見したいところです. ノルム空間だと半端に知っているところにひきづられてしまうので
@phasetr 昨日の問題, 否定的に解決されまして人から教えて頂いたのですが, 例えばまず稠密な基底を取ったあとにそれを延長して代数的な基底を作り延長した元から一元除くと, codim1 の閉でない空間と一次元 (すなわち閉) 部分空間の直和になり反例になるようです.
@Lyirth ありがとうございます. 代数的なきていというの, いまだに感覚が掴めないですね. そもそもバナッハで基底を使わないので
@phasetr たしかにまだゲルファント表現あたりまでしか読んでないのですが, 一度も基底を取ってないです笑 一応線形空間なのに基底を取らないというのは変わった感じがします (無限からの光芒買ってきました←
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1100-12.pdf 近寄りたくない w
ちょっとるの人がバナッハ空間に関する, 感銘を受けざるを得ない PDF を張っているのであとできちんと読むあと この辺も面白い.
@phasetr 私の心はむしろヒルベルト空間と共にあるのだが, もう 1 つの心の故郷として作用素環があり, 一般にはノルム空間 (ノルム環) であってバナッハ空間なので要はバナッハ空間は祈りの対象
@phasetr 読みます. ありがとうございます! (ところでもし面倒でなければ教えて頂きたいのですが (基本的な内容で申し訳ありせん) Banach 空間 A=B+C (直和) と書けるときに B が閉→ C は閉って反例あるのでしょうか?)さらっと例が作れるの, 格好いい.
@Lyirth 横槍失礼, 直和が単に algebraic な直和の閉包になるというだけの意味なら, closed でない codim 1 subspace はたくさんあるが, dim 1 subspace は常に閉. これらを complementary に取ることは難しくないよね.
@Lyirth 閉包とったほうが安全だけど, この例は片方 dim 1 だし閉包とってないよ. Hilbert でもできるけど, ミソはあえて orthogonal じゃなくとるところさね.
@Lyirth 可算次元 dense subspace をはる基底をとってから, それを延長して代数的な基底を作り, 最後一個以外からはられる subspace は codim 1 だが dense だね. これでどんな Banach 空間でもできる.
@Ara_1729 お風呂で気づきました! 代数的な操作については"いつでも基底が取れる"んですもんね! そこで最初に可算 subspace を貼るのはなぜですか?
@Lyirth 適当に基底とって一個残して subspace 作る時に, closed にならないようにすれば他の方法でも大丈夫
@Ara_1729 なるほど, すっごく納得しました. ありがとうございます, 勉強になりました.
線形代数だとすると, テキストは何にすべきなのだろう......日合・柳の本というのは『ヒルベルト空間と線型作用素』だ.
@Yonus_Mendox ヒルベルト空間論とか読めばいいのでは
@phasetr いえ, 初めて学ぶひとと読むための本なので...... やっぱり一周して齋藤正彦でしょうかねえ. ──ところで, ヒルベルト空間論としては何を読めばよろしいのでしょうか.
@Yonus_Mendox 日合•柳のがすっきりしていて良い本です
@phasetr ありがとうございます. 作用素かあ......
@Yonus_Mendox ヒルベルト空間自体は簡単なので一般論としてはあまりやることないのです. 具体的なソボレフがどうの, とかいうことになると微分方程式などと絡めて色々やることありますが. 分かりやすい空間だからこそその上で作用素論などがうまく展開できます
数学や他の分野の方々には申し訳ないですが, 物理の人間として書きます. 経験に照らしてみても, (非数学の) 初学者が気楽に読めるような本とはいえませんが, 非常に良い本であることは間違いありません.
(初等) 物理の中で線型性は非常に重要な概念です. まず, 数々の物理法則は微分方程式の形で書かれますが, 大抵は線型の微分方程式です. 例えば, 大抵の電磁気学の本は, 静電場を記述するクーロンの法則からはじまると思いますが, 重ね合わせの原理を用いて, 多電荷の系へ拡張し, さらに電荷が連続分布した系へと拡張していきます. このとき用いる重ね合わせの原理を数学的に述べると, 微分方程式の線型性です. また線型空間の理論は座標による表示を離れる, という幾何学的な面もありますが, これは物理法則の共変性を定式化する際に大事になってきます.
もっと本質的に線型性が出てくるのは現代物理の要たる量子力学です. 正確には量子力学で用いるのは無限次元の線型代数 (関数解析) ではありますが, 基本的な思想を学ぶには有限次元の線型代数 (本書の程度!) で十分です. 応用上も大事な正規作用素のスペクトル分解 (対角化と同値) について触れてあるのも嬉しいところです.
最後に行列の解析的な取り扱いがありますが, これには, そもそも行列の関数 (指数関数や対数関数) を定義する, という応用上も大事な議論が含まれています. たとえば, 量子光学で現れるコヒーレンスを扱うときなどに, これを知っていると, 戸惑いがなくなると思います.
かなりマニアックな話 (数理物理的観点) で恐縮ですが, Perron-Frobenius の定理の前に「工学や経済学への応用上重要」という説明がありますが, この定理は厳密統計力学への多数の応用があります. この定理には正値性保存 (または改良) 作用素の理論という無限次元版がありますが, これはたとえば, 汎関数積分 (経路積分) 法の威力を高めてくれます.
学部の 4 年にもなれば, 物理で線型代数が重要なことは身にしみて分かります. 特に量子力学においては決定的です. ある程度線型代数に慣れたら, 物理の人にはぜひともアタックしてもらいたい本です.
@phasetr @ilovegalois R^nに対しては実位相線形空間としての位相の入れ方は一意的です。 無限次元の時のみ問題になります。\(T_0\) とはいえ分離公理が効いているというの, なかなか戦慄させてくれる. というわけで Gabriel Nagy による Topological Vector Spaces III: Finite Dimensional Spaces を読み進める.
@hymathlogic 証明どこにあるでしょうか。読んでみたい
@phasetr 帰ったら返信します。 (一意というのは正確には間違いでT_0なら一意です)
@phasetr http://www.math.ksu.edu/~nagy/func-an-2007-2008/top-vs-3.pdf これなんてどうでしょう
In this section we take a closer look at finite dimensional topological vector spaces, and we will learn that they are uninteresting from the topological point of view.そうだったのか.
Exercise 1. Show that the only other linear (non-Hausdorff) topology on \(\mathbb{K}\) is the trivial topology \(\mathfrak{T} = \left\{ \emptyset, \mathbb{K} \right\}\).何だと.
Theorem 2. For a topological vector space \(\mathcal{X}\), the following are equivalent: (i) \(\mathcal{X}\) is finite dimensional; (ii) \(\mathcal{X}\) is locally compact.Hilbert 空間ですら弱位相でないと単位球がコンパクトにならないのでその意味では関数解析を学んでいれば「自明」に近い事実だが, 改めて見ると衝撃的だ.
量子論を物理として理解するなら, 連続な場合は離散的な場合のアナロジーでいいので線形代数で十分では?物理を数学的に厳密に, とか息まく新入生などがいるかもしれないが, そういう人はとりあえず私を見よう. 物理も数学も中途半端な出来損ないの醜いキメラだ. こうなる覚悟がある者だけ数理物理に来よう. 来るなら歓迎はするが勧めることはできない.
@kbl_30 大分前に Amazon の線型代数入門の書評にそれ書いておきました
@phasetr ねくちゃんが関数解析から攻めようとしていたので
@kbl_30 @phasetr アナロジーではなく関数解析でないとこまる, という場面はやはり出て来るのでしょうか.
@Yonus_Mendox @kbl_30 困るときは物理が悪い (物理的考察が甘い) と判断するべきです. むしろ関数解析をきちんと使って物理的に満足いく議論が出来る方が珍しいくらいなので, その意味でも数学的にどうこうというのはおすすめできることではありません
@Yonus_Mendox @kbl_30 ただ無限次元の線型代数として把握していれば色々なことを 統一的に理解できて楽な部分はあると思っているので, その辺について今度東大かどこかで話したい (そして動画化したい) とは思っています. 忙しくてそちらの話は全く進められていないのですが
@phasetr なるほど. 言い換えれば, 物理にとって関数解析は「無限次元の線型代数」に過ぎないので, 大抵はアナロジーで充分, ということになりますか.
【緩募】（無限次元の非回帰的な空間で）双対空間の双対空間， という系列が無限に続いていき，しかも具体的にそれが書き表せるような例
【緩募】\(L^{\infty}\) の双対はRadon測度の空間だが，このRadon測度の空間自体の双対空間が何者かこの間床の中でこれらがふと気になって寝付けなくなって困った. 関数解析を学べば誰でも知ることだが, 具体例を作ったことがなくてこれはまずい, と思ったのだ. 前者については山元さんから 次のようなコメント を頂いた.
@phasetr 考えるのはノルム空間ですか？
@hymathlogic 何でもいいです． 単純に例がたくさん知りたいのでむしろノルム空間の例もそうでない例も知りたいです
@phasetr \(\ell^1\) はその例になっているようです。 (\(\ell^\infty\) より先の双対空間が)具体的か分かりませんが。
@hymathlogic 何かに証明書いてありますか？
@phasetr kunenの「set theory」の演習問題です(証明分かりません汗)。
@hymathlogic 悲しみ. 何はともあれありがとうございます自分で作れ, という話ではあるのだが, 何かご存知の方は教えて頂けると私がとても喜ぶ.
「積分」を特定の関数空間に対する線型汎関数と定義するなら積分なんじゃないすかね（適当）
@crobert_z 作用素環，特にvon Neumann環だと実際に汎関数を積分のように見ます． 可換だと本当に積分になりますし．特に【単調収束定理が成立する汎関数（正確には状態：作用素環の用語）】を正規状態と呼びます
@phasetr やはりそうでしたか。可換だと関数環（でしたよね）になるから当然ですかね。ありがとうございます。
State=積分ってのは知らなかったな。授業中聞いてなかっただけかも知れないけど（）
@crobert_z 状態は勝手に有界になってくれるのですが，（局所コンパクト）ハウスドルフ空間上の 連続関数環の正値有界線型汎関数はRiesz-Markov-Kakutaniで積分と思えるというのを使いますhttp://en.wikipedia.org/wiki/Riesz%E2%80%93Markov%E2%80%93Kakutani_representation_theorem
@crobert_z あと正規状態とか非可換確率論とかで http://kaken.nii.ac.jp/d/p/61540138.en.html あたりも多少参考になるかと思います
@phasetr Riesz-Markov定理は知ってましたがKakutaniの名前も付いてたんですね詳しい話は Wikipedia を見てもらうこととして, Riesz-Markov-Kakutani はハイパー格好いい定理で, 関数解析のハイライトの 1 つなので, 関数解析を学ぼうという人は必ず勉強してほしい. 証明は例えば「ヒルベルト空間と線型作用素」の付録に書いてある.
本研究は作用素環上の非可換確率論と非可換力学系を解明することを目的とした。 非可換の確率論・積分論は通常Von Neumann環(以下、V.N.環)上で定式化され、 確率測度または測度に相当するものとして正規な状態または荷重が用いられる。 状態または荷重がトレースとなる場合は従来より盛んに研究されている。 通常の古典的確率論はV.N.環が可換な場合として非可換確率論に包含される。これも何度か書いている気がするが, 可換 von Neumann 環は \(L^{\infty}\) と同型になるので, 要は \(L^{\infty}\) だ. \(L^{\infty}\) は可測集合の情報を持っているので, そこから大体測度論やら確率論ができることになる. 一般の von Neumann 環は非可換なので, そこから単純に非可換確率論と言っている. 状態はノルム 1 の正値線型汎関数のことだが, 荷重は非負の元から \([0, \infty]\) への線型写像だ. むしろ状態はノルム 1 の荷重とも言える.
昨日盛り上っていた「パソい位相空間」の話だけど、 公的見解としては「本当はパソろじい位相空間」という言葉を提案する。いっぽう、
私的には、俺は「病的」という表現が好きになれないし、例としての異常さを主眼とした研究プロジェクトには乗る気はない。 いわゆる「メンヘラ」流行りも好きではない。 「心身の不健康」を売りにするのは、「心身の健康」を売りにするのと同じくらいくだらない。
その一方で俺はカントール集合をはじめとするフラクタル図形が大好きだ。 それらは最初はたしかに病的な異常な例として提案されたものだが、俺はそういうものとして愛好しているのではなく、 あくまで理論的に有意義でおまけに美しい対象として追求しているつもりだ。
「選択公理のない数学に含まれる意外な結果」や「選択公理から導かれる意外な結果」についても同様。
カントール集合がカントールとスミスによって独立に発見されるまで、 いまの言葉でいう「至る所非稠密」と「外容量ゼロ」と「カントール・ベンディクソン階数が有限」という概念を デュボアレイモンやディリクレといった一流の数学者といえども区別できていなかった。
つまり「どんな小さな区間においても稠密ではない」けれども「孤立点がない」ような点の配置は、 1870年代前半までは、数学者の「健康な数学的直観」の射程にはなかったし、論理的可能性としても検討されていなかった。
そして、不連続点の配置が、これら曖昧に同一視された「点の小さい集まり」に含まれるような有界函数はリーマン積分可能と信じられていた。 （以上はT.Hawkinsの本「Lebesgue's Theory of Integrals」による）
そこへスミスとカントールがカントール集合すなわち「至る所非稠密な完全集合」をもって登場した。 そういう背景を考えれば、当時、カントール集合が「病的な例」とされただろうことは容易に想像がつく。
しかし、スミスはたしか「小数点下に4が出てこないように10進展開できる実数の全体」を考えたのだから、 後知恵で振り返ると、それに先立つ世代の「健康な数覚による実在する数学的現象の直観的把握」のほうが片手落ちだったと言わざるをえない。
まとめれば、カントールの「単位閉区間上の1が出てこないように三進展開できる実数の全体」が病的な例であったのは、 それ以前の「健康な数学的直観」にとってのみであり、 その後発展をみた測度論や位相空間論や力学系理論においては、カントール集合にはいたるところで出会うことになる。
これ、あとでまとめて「昨日のて日々」に書くだ。
「病的な例」のホームラン王たるバナッハ=タルスキの定理にしても、測度問題の発展史という背景において見るべきだと思う。 たしかに驚くべき例なのだが。
つどいで市民の話を聴けなかったのは残念だが、それにはやむを得ぬ事情があったのだ。
@phasetr そのファインマンの「経路積分」もその当時の数学の文脈ではトンデモあつかいだった。 けどそれを言ったらニュートンやライプニッツだってそうだし、むしろそういうものこそ数学の発展をリードするわけですからね。
ニュートンvsバークリとかライプニッツvsニイエンティイト(と読むのか?)とか、あるいはカントールvsクローネッカーだってそうだけど、 批判者のほうが論理的に首尾一貫した堂々たる理論を展開できるのは、新しい理論の創造性のいわば代償のようなものなんだろう。
私が好きなのは、普通に数学をやっているとなかなか出くわさない、またはある種異常な振る舞いをしてくる（物理由来の）対象、 またはある時点での「美しい数学」では捉えることのできない物理由来の変な現象が好き。 病的な例というより適当な意味で特異性のある話が好き。つどいでも少し話したが
@phasetr つどいで少し触れたし、多分そのうちどこかで詳しく話すが、殿下の話、物理関係だと時々出てくる。 フォンノイマンはデルタ関数が嫌で関数ではないことの証明を本の中でわざわざ付けたらしいし、III型フォンノイマン環の物理でも大雑把に言って似た話がある
@phasetr デルタ関数からは超関数論が花開いたし、日本からはさらに代数解析という最高レベルに貴族的で美しい数学が生まれた。 三型環には冨田竹崎という作用素環の至宝が生まれ、非可換幾何やそこと数論の関係でも使われる。
@phasetr その辺の「病的」なところを「綺麗」な数学にするみたいなことが私の数学的な部分のモチベーションの大きな部分になっている
@phasetr 三型環だと極端な話がある。存在自体は分類がされた当初から分かっていたようだが、具体例が作れなかった。 具体例は相対論的場の理論と量子統計への応用で出てくるほぼ全ての環が三型だ、という形ではじめて構成された。 こういう話がすごい好き
@phasetr フォンノイマンの論文に本当に書いてあるが、作用素環自体が量子力学への応用を念頭に見つけた理論だ。 あと作用素環で重要な線型汎関数に状態（状態空間というのもきちんとある）というのがあるが、この名前の由来も物理だ。 荒木先生だとか有名な人で物理出身の人も多い
ご参考：http://bitly.com/11yeIBJ 数学会誌に、河東先生の「荒木不二洋先生のフンボルト研究賞受賞に寄せて」という作用素環の話が書かれてます． 引っ張り出しました．実際に III 型環の具体例が相対論的場の理論を使ってはじめて作られたという話が書いてある.
記号の使い方に非難でまくりのセミナー
@alg_d 先輩のやつですか？
@bonnou_bonjin はい。「作用素のカーネルはKerで」「カーネルはNだろなにいってるんだ!!」
@alg_d 小文字のkerを使う方の市民
@alg_d カーネルがNの気持ちがわからない人生だった・・・
@bonnou_bonjin それな
@alg_d @bonnou_bonjin ゼロに落ちる的な意味でのnullのNから来ていると思っていたのですがどうなのでしょうhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E7%A9%BA%E9%96%93
@phasetr あーなるほどと思いながらも日常的に使っていないからカーネルはkerという感じが強いですね
@phasetr kernelをNと書くのはフランス語のnoyau（核）に由来しているのでは？よく分からないが確かにフランス語由来かもしれない. 実際, 整数の
