Twitter まとめ：数論についての簡単な紹介

先日, 次のようなあまりにもアレな RT が流れてきた.

数論って初心者がやるにしてはハードル高いと思うし、マイナーすぎると思う

最初「また頭がおかしい人か」と思って次のようなツイートをしたが, どうやらそこまでアレでもなかったようなので, 簡単にプロデュースしてきた. これはその記録である.

http://tinyurl.com/bz88vkr 【数論って初心者がやるにしてはハードル高いと思うし、マイナーすぎると思う】 前者については話題の選択で十分どうにでもなる(と思っている)し, 後者に至っては気が狂っているとしか思えない

連投したツイートは次のような感じ.

@KleinSurface 色々コメントがきているかもしれませんが，数論は数学の中でも最高に有名な部類で，研究者もファンも多いです． また応用に乏しいというのも致命的に間違いで，例えば暗号理論で活躍しています． 暗号は通信の安全性にも深く関わるのでネットに触る人は日々使っています 

@KleinSurface 念のため言っておきますが，暗号に使う部分の数学は非常に専門的です 

https://twitter.com/KleinSurface 数学科志望でこのIDの人でも数論がマイナーに見えているというの, 凄く面白い. 何というか内部から見ている世界と外部から見える世界は違うのか, と思ったが物理学科の頃から数論の地位みたいなものは知っていたことを想起した 

何も見ないで脊髄反射でRTしてしまったが, 何となくまともな人っぽいので反省している 

@KleinSurface 鬱陶しいかと思いますが，数論がどういうものかいくつか説明します． まずガウスの言葉で「数論は数学の女王」という言葉があります． とりあえずそういう感じだと思って下さい． あと東大数理は高木貞治の類体論以来，基本的に数論が強いです 

@KleinSurface ご存知か分かりませんが，先日京大の望月さんのABC予想の話がTwitterでも話題になりましたが， ABC予想も数論の話です． フェルマーの最終定理も見かけは数論関係なさそうですが，数論との関わりが極めて深いです． また見かけ簡単でかつ未解決の問題も多いです 

@KleinSurface あと関連する数学が極めて広いことも特徴です． 細かく言うとあまり関係ない分野もあるでしょうが，いわゆる代数，幾何，解析すべて関係あります． 名前からして解析数論，数論幾何，代数的整数論というのがあります． 

@KleinSurface 最後のは「代数的（整）数」に関する理論であって代数的な整数論ではない，という話もありますが． 関連する分野まで少なくとも後一つ応用があります． 数論幾何は代数幾何という数学（のある種の拡張）を使うのですが，代数幾何は符号理論という応用があります 

@KleinSurface 符号理論については前簡単な動画を作ったので，ご興味あればどうぞ http://www.nicovideo.jp/watch/sm10684363 この動画自体では線型代数しか使っていませんが，代数幾何を使い始めると死ぬほどハードです

「数論が初心者向きでない」という部分が弱いのでいくつか追記しておこう. 異論もあるだろうが, 非常に大雑把にいって「数論」といったとき, 本当に初等的な意味で「数」といった場合には 2 つの大きなテーマがある. それは素数の理論と超越数の理論だ. 「数論」というと大体素数の方の話になり, 超越数の理論は主に解析数論の話題になる. 解析数論は超越数の話ばかりしているわけではないのだが, 大事な分野だ.

代数的整数だとか p 進数など色々な「数」があるので, あまり適当なことをいうと怒られてしまう.

素数の理論についていうと, 時々「今知られている中で最大の素数」と言った話題が出てくるが, 例えばこんなのは分かりやすかろう. ちなみに素数が無限個あること自体は古く Euclid の頃から知られている. ただ, 知られている中で最大の素数を見つける (記録を更新する) というところで, 永遠にアタックできる, 誰にでも分かる問題になる. また現代の暗号理論は適当に大きい素数をうまく使うという話なので, 大きな素数を見つけることは応用上も大事なのかもしれない. この辺は詳しくない.

他には有名な理論について具体的に計算しまくることができたりする. そういうのをひたすら計算するだけでもかなり楽しいという人もいる. 興味がある向きは次の本を読んでみると楽しいかもしれない.

超越数論については, ある数が超越数であるかを調べる理論だ. 超越数というのは整係数代数方程式の根とならない数のことだ. ここで整数 (または有理数) 係数というのがとても大事.

超越数の例としては π, e, 22√ などがあるが, 証明はどれも簡単ではない. 22√ に至っては Fields 賞クラスの問題だ. いまだに π+e や πe が超越数かどうかということも分かっていない.

もう少し単純な「ある数が有理数か無理数か」という問題もある. こちらは比較的簡単に証明できる数もいくつかある. 有名なのは「 2‾‾√ は無理数になる」という話だろうか.

Twitter まとめ：慶應 SFC は社会のことなど気にせずもっと面白いことをしろ

大した話ではないが, 折角いくつか呟いたのでこちらにもまとめておこう. 一言で私の希望をいうと, 「社会をどれだけ傷だらけにしようがお前らが腹の底から面白いと思うことを貫き通せ」となる.

まずこのようなニュース があった. すごくどうでもいいのだが, 次の文章には驚いた.

最近は入試問題の「マンネリ化」により、受験勉強が問題パターンの暗記一辺倒になってしまっていると指摘されている。 そんな中で「目新しさを狙って暴走してしまったのでしょう」といい、受験生の努力がむくわれる出題をしてほしいと話していた。

私は「お決まりの努力だけをしてきた受験生なんていらないよ. 触れたことがなかろうが瞬発力を見せろ」という SFC のメッセージだと素直に受け取っている. あとで『数学まなびはじめ (第 1 集)』の小林昭七先生の分から淡中先生の記述を引用するが, 頭の回転速度 (だけ) で頭の良さを測ろうとするのは愚の骨頂であると思っている. 無論私が頭の回転が遅いため死ぬ程頭に来るからだが, しかしそういうタイプの人でないと捌けない問題はあるはずで, SFC のそういう学生を最優先て仲間に入れたいというメッセージについては一切文句はない. 色々な人がいればいい.

これを受けて次のようなツイート をした.

SFCの数独の問題，一番深刻なのは，SFCに入る能力をはかる試験で，数独という他人が作った問題形態を使ってしまえる，SFCのありとあらゆる意味での知的怠惰では． 調べきれていないので，数独自体作ったのがSFC関係者という可能性はあって，それならまあ分かるけれども

そしてこれに y_bonten さんから次のような反応 があった.

相転移Pさんがそう言うとそんな気もしてくるけど、自分が出題者だったら、 「これで測りたい」と思わせるようないい題材があったら使ってしまいそう。

私の返しは次の通り.

@y_bonten そんなにSFCに含むところがあるわけではないのですが、思っているのは、SFCの理念です。 問題解決のプロを育てるといっています。 既存の枠にとらわれず入試における問題もきちんと解決していく様子を見せればそれだけでもかなりクールなことですが、そういう姿勢が見られない 

@y_bonten 数独というのは確かに今までにないソリーションと言えないことはないですが、流行り物という一面があります。 たとえスベってでも自分たちが理想とする入試、自分たちが育てたい、共に歩んで行きたい学生はこんな人たちだ、というのを打ち出せばすごくいいと思うのですが 

@y_bonten そこで、そういう気概が感じられない、気をてらったようにしか見えないものを出してくるのはどうなのかと。 ここで私が思いだしたのは東大の数学の入試です。 以前三角関数の加法定理の証明が出たことがあります。 まさに教科書に書いてあるわけですが、これを東大が出すことに意味が 

@y_bonten あります。 何を身につけていて欲しいのか、どういう姿勢で取り組む学生が欲しいのか（少なくとも数学関係者には）明確に分かります。 また、小学校での円周率の問題がでたとき、東大で円周率が3.05より大きいことを示せという問題が出ました。 

@y_bonten 既存の問題形式でもそれなりの意味や社会的影響を出せることはあるわけで、円周率は実際ニュースにもなりました。 SFCも慶応の名を関するわけでそれだけでも社会的影響があるので、何かもっと面白い社会実験すればいいのに腰砕け感溢れるのが情けないな、と

y_bonten さんからまたもう少し反応があり, さらにそれに私が返す.

@y_bonten そこをむしろ色々実験やってほしいですね。 既存の形態も織り交ぜつつ時々変なのも出すとか。 ある年は全ては健全で盤石な基礎の上に作られるという信念に基づき標準的なものばかりにしたり、 ある年は既存の道具は何も使えない、さあどうする？と言った趣向でやってみるとか 

@y_bonten SFCの学生も当然大なり小なり失敗をしていくわけですが、 それをいい年した大人が試行錯誤の過程を見せながらより良いものを目指していく姿を見せられればそれだけで面白いと思うのですが、 奇を衒っただけとしか思えないようなものを出すのに何の意味があるのと。 

@y_bonten 究極的には半端でつまらないからもっと徹底的にやれという私の単なる願望というか一方的な期待です

もっと大人が手本を見せろ, 恥ずかしくないの SFC の教官陣は, というところだ. 東大数学のように, 「うちの大学は加法定理の証明もできないようなへっぽこはいらない」くらいの強烈なメッセージを出してほしい.