「エタール・コホモロジーの定義への道を開いたのは, セールによる,
代数幾何におけるファイバー束の定義だったらしい」.
グロタンディーク by 斎藤毅
http://bit.ly/1i7eA2P
去年の環論の演習で「単位的環 \(R\) とその加法についての部分群 \(S\) で,
\(S\) が \(R\) の乗法で閉じていて単位的環となるが \(R\) と \(S\) の単位元が異なる例を挙げよ」という
問題を考えて少し悦に入っていたが零環でない環 \(R\) と \(S=\{0\}\) をとれば明らかだった.
(昔, \(R \to R \times R\), \(x \mapsto (x, 0)\) について \(\mathrm{Spec} \, (R \times R) \to \mathrm{Spec} \, R\) を
とってしまうような間違いを 1 時間くらいしていて悩んだことがあったので……)
@nolimbre 2 次正方行列の環 \(R\) と, \((1, 1)\) 成分以外 0 な部分加群 \(S\) とか.
@nolimbre 「単位的環においては単位元と零元は異なるものとする」と
断ってあるのをなんかの教科書で見たような気がします.
@kyon_math @nolimbre そういう流儀もあると思いますが,
零環を許さないと, 空集合が affine scheme で無くなってしまう気もするのです.
@atomotheart @nolimbre いや, 単に「呼び方の便宜上の話」だと思います.
「本書では環と言えば単位的な可換環のことをさす」とか,
その手の類いで, 定義として採用しているわけではない.
#誤解を招くつぶやきだった
@kyon_math @atomotheart 零環を排除すれば一見楽に見えますが, 終対象なので, ないといろいろ不便ですよね.
(テンソル積が一般にとれなくなる, それに伴ってスキームのファイバー積がとれなくなるなど)
僕は以前零環を軽視していて総ツッコミを受けました
@iwaokimura そういうのもありますね.
(あまり関係ないですが, 初めて代数群の定義を見たとき「なるほど, 体を加法群とみたものなんかは代数群ではないんだな」と思ってしまいました).
@nolimbre @atomotheart 私が勤めはじめた頃,
かなりお年を召した代数学の教授が 「零次元のベクトル空間なんて, そんなものありゃあせん」と主張して,
困ったことを思い出しました.
#いまは何もかも懐かしい
@kyon_math @atomotheart そ, それは過激ですね…… ww
パラコンパクトでない多様体の例とか第2加算公理を満たさない多様体の例とか知りたい
@phasetr http://www.ams.org/journals/proc/1953-004-03/S0002-9939-1953-0058293-X/S0002-9939-1953-0058293-X.pdf
@eszett66 代数幾何恐るべし
衝撃 http://pic.twitter.com/e0ax6A6g0a
@waheyhey この本, 何という本でしょうか
@phasetr 一次元代数的特異点とディンキン図形という本だったと思います.
難しい基礎付けをせずに初等的に特異点の紹介をしているので, 某サークルの発表の参考にしようかと.
http://chomado.ciao.jp/blog/programming/randomseed/ 初学者丸出しで恥ずかしいけど日記を書きましたひさこさんにぶっこんでおいたので後でメルセンヌ・ツイスター教えてもらおう.
@chomado 線形合同法とか疑似乱数を生成する方法とかで関数とか作ってみると入れる値の必要性が良く分るのかにゃ?
@emaxser ! なんだか高度そうな話ですね
@chomado ぜんぜん, 普通に作れちゃうので作っちゃえば良いと思います!w
@emaxser 「擬似乱数を生成する方法で関数を作る」とは, つまり rand () のようなものを自作する, ということですか?
@chomado そうそう, 線形合同法って漸化式一個だけだから簡単に関数作くれるお
@emaxser 調べてみます…ありがとうございます!
@chomado 詳しい人に聞いてみてもらいたいのですが, 「熱雑音」を利用した現実的な乱数生成法とかいうのもあるようです http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B1%E9%9B%91%E9%9F%B3
@chomado また疑似乱数生成アルゴリズムとしてメルセンヌツイスターというのがあります http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E3%83%BB%E3%83%84%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%82%BF これにはそこそこ大変な数学を使っていますがひさこさんに聞けばきっと教えてくれるはず
@phasetr !! さすが数学にお詳しい…! ありがとうございます!
@chomado 「数学が何の役に立つ」と言われるのが本当に頭に来るので色々な役に立つ場面を調べてきたと言うアレです. 以前受験生にページランクの話をしたら「私は Google のページなんて使わない」と恐ろしく愚かな返事をもらって「あっこんなの調べても意味なかったのか」と気づきました
@phasetr かなしみ
@ka9e これが社会です
@chomado 逆に, seed を保存しとけば, 何度も同じ乱数を得られますね. また, seed がバレたら, 乱数じゃんけん必勝プログラムを作られる可能性もあります.
@dempacat !! たしかに! それはとても興味深いです!! ありがとうございます!
特異点解消とかってどういうモチベーションでやってんだろ. 全然知らないけど.修士修了近くに廣中先生の話を聞く機会があって, そのときたまたまもう一人筑波かどこかの大学の方が, 「自分はこれから博士を出て数学とは関係ない仕事につく. それでも研究は続けたいのだが出来るだろうか」みたいなことを質問していた. そのときに「研究? 続けたらいいじゃないか」と廣中先生が超気楽に笑顔で言っていたので, それなら自分も続けてみるか, と私も超お気楽に思ったことを思い出した.
@Maleic1618 私が知る限りでは, 特異点には大事な情報がたくさんあるものの, 特異点はその名の通り特異性があって扱いづらいので扱いやすくするためにやる処理が特異点解消です. 例えば筆跡鑑定で大事になるのは尖った所だったりするようですが, そういう所をきちんと調べる的な
@Maleic1618 ちなみに筆跡鑑定の話は実際に廣中先生の話で例として出てきました
@phasetr なるほどです. その話は関数論の方とも関係があるのでしょうか? 多変数の関数論では極や不定点が孤立しなくて 1 変数と同じ議論が出来ないので, 特異点を扱う話とつながるのかなと勝手に想像しているのですが.
@Maleic1618 私も私で専門外もいいところなので専門の人にあとできちんと確認した方が良いとは思いますが, 関数論は複素係数の代数幾何は含むはずで, 解析空間関係の話で処理するのだとおもいます
@Maleic1618 廣中先生自身, 解析空間の本を書いていますし http://www.amazon.co.jp/dp/4254111347 大雑把に言って「特異点を含む複素多様体」が解析空間だったはずなので, 当然色々関係する話があるだろうと
@phasetr なるほどです. 近いうちに図書館でのぞいてみますね. ご丁寧にありがとうございます.
TLがおおかみこどもだけでなんかつまんねまず 1 変数の一致の定理を書いておこう.
@1112345678999 そんなときこそ数学
@phasetr あまり詳しくないので大きな声で言えませんが、オイラーの公式は三角指数が絶妙に組合わさっているこの世で一番綺麗な数式だと思ってます
@1112345678999 オイラーはむしろ、指数関数を複素領域にまで拡張する時のキーである一致の定理の破壊力に思いを馳せます。 また、一変数での一致の定理は集積点を含む集合上の一致だけみればいいのですが、これは多変数では成立しないので一変数と多変数の差異も際立つ深い定理です
@phasetr (理系学院生なのにピンとこないヤバイ……)
@1112345678999 この間で早稲田で数学科学生向けに関数論セミナーをしたときからずっと書こうと思っていた話なので後でブログにまとめます。 そしてDVDにもする予定がある方の市民
一致の定理 (1 変数)この定理は次の 1 変数関数の零点の振る舞いによっている.
\(U \subset \mathbb{C}\) を領域とする. 関数 \(f, g \colon U \to \mathbb{C}\) が正則で \(C \subset U\) が \(U\) の中に集積点を持つとする. このとき \(C\) 上で \(f = g\) なら \(U\) 上で \(f=g\) となる.
定理 (1 変数での零点の孤立性)1 変数での一致の定理の証明は次の通り.
関数 \(f \colon U \to \mathbb{C}\) が正則で恒等的には 0 でないとする. このとき \(f\) の零点は孤立している.
\(h = f - g\) を定義したとき, \(h\) はもちろん正則だが \(C\) 上 \(h = 0\) となるが, \(C\) は \(U\) 内に集積点を持つため零点は孤立しない. したがって \(U\) 上全体で \(h = 0\) となる必要がある.孤立性さえ認めるなら証明は簡単だが, 当然零点の孤立性に強く依存している.
定理 (多変数. 零点集合の性質. )1 変数のときは \(C\) が閉集合でも良かったのだが, 多変数では開集合に限定される. これがポイントで, 一致の定理の \(C\) の条件として決定的に効いてくる.
\(n \geq 2\) とし, \(U \subset \mathbb{C}^n\) を領域とする. 関数 \(f \colon U \to \mathbb{C}\) が正則なとき, \(U\) のある開部分集合上 \(C\) で \(f\) が恒等的に 0 になるなら, \(f\) は \(U\) 内で恒等的に 0 になる.
This article studies the Galois groups that arise from division points of the lemniscate. We compute these Galois groups two ways: first, by class field theory, and second, by proving the irreducibility of lemnatomic polynomials, which are analogs of cyclotomic polynomials. We also discuss Abel's theorem on the lemniscate and explain how lemnatomic polynomials relate to Chebyshev polynomials.題名にある通りの Galois 理論は当然として, 類体論との関係とかも色々あるようなので面白そう. Cox は結構有名な (和訳もある) 代数幾何の入門書を書いている人で, 共形場とかもやっている人だったという記憶. 前, 符号理論と代数幾何の動画を作ったとき, 代数幾何自体にはほぼ触れなかったが, さすがに勉強しないとまずいと思って, Cox らによる代数幾何の本を買って一応一通り眺めた. 全く身についていないが, いくつかあった誤植を報告した. 誤植を報告すると, それが新たに見つかった誤植の場合, 1 箇所 1 ドルくれるとか何とかいう話があって, それでいくらか送ってもらった覚えがある.
『 Foundations of Rigid Geometry 』 (Vol. I) がついに arXiv からリリースされました. ここまで来るのに 10 年かかりました.http://arxiv.org/abs/1308.4734今の代数幾何…数論界隈で 10 年もかかったら基礎の部分から大きく書き直しが発生したことも何度かあるだろうし, 凄まじい. さらに Vol. I というのがやばい. これ, あと何巻続く予定なのだろう.
P.1このあとにも破壊力の高い文言が並ぶ. 是非読んでみてほしい.
仏教の法のことは全く理解していない筆者であるが, \(p\) 進 Hodge 理論のような数学の深い法もまた, この温泉寺の大気の中に, 千年も億年もきらきらまじり入って, 人間や生物の生活とともにあったにちがいない.
P.1-2もうどうしたらいいのか分からない. 上記引用後も実に味わい深い一文があるのだが, 書き写すのが面倒なため省略する.
筆者は 1 において, 鶴の恩返しの鶴の思いが, 宇宙の期限を考える鍵であることを書いた. そこには, 鶴女房のみならず, 蛇女房や雪女もあらわれたのであった. (その後こぶとりじいさんまであらわれた時は筆者もさすがにうろたえたが, こぶとりじいさんについてはまだ論ずるに至っていない. ) それらを書きながら, 当時の筆者は自分でもちょっとついてゆけないものを感じたが, 今はちゃんとついてゆけるし, 実に自然なことのように思える.
P.215 ページある中の 2 ページ真ん中あたりなのだが, もう全文引用したい気分にかられる. Fontaine が「グルノーブルの狂人」と言われていたらしいことを知る夏だった.
筆者は狂ってしまったのであろうか. いまだ狂い足らざることを恥ずるのみである.
最近, 息子とディズニー映画「美女と野獣」を見た. この漫画映画を「原作の味をそこなった」と嫌うかたもおられるけれども, 私はすばらしいと思う理由は, 主人公の娘さんもその父親もいかれていて, 映画はそれを力強く支持していることである.城崎がどこにいったのかよく分からないし大宇宙を感じた.
P.3だそうだ.
数論は, ある数が有理数か無理数か, ある素数で割り切れるかどうか, とか, 非常に微妙な話をとうとぶのであるが, \(p\) 進 Hodge 理論の方は, 代数多様体なら何でも持ってこいという, 細かい所は気にしない性格である.
複素関数として定義されるゼータにとって, 大変苦手な, \(p\) 進 Hodge の山道を, ゼータは与ひょうに会うために切ない思いをもって, 必ず越えてくる. (鶴が娘に姿を変えたように) \(K_2\) の中の「ゼータの化身」に姿を変えて.
ゼータに心を感ずるのは, 単に我々の心を投影しているだけだという人もあるかもしれないが, 実は逆に我々の心が, ゼータの心の投影かもしれないことはいうまでもない.いうまでもなかった.
上野健爾さんに, 「宇宙は物質だから…」と筆者が話しかけたとき, 「宇宙は物質ですか?」と疑問を投げかけられてしまったことがあった. 上野さんのお考えは, 筆者ごときの推しはかれるところではないが, すると宇宙は「心」なのであろうか.数学を学ぶとこんなに論理的になれるので, 論理力の涵養に役立つ.
P.5ちょっともう全文引用になってしまって色々とアレなのだが, とにかく胸を打つ言葉, 文章が並び続ける.
宇宙 = 心 = ゼータ
なのであろうか.
中略
………… = モスラ
とさっきの等式は続くのであろうか.
P.7宇宙工学を学んでおくべきだったと悔やまれてならない.
この, 複素平面の中を通っていかない \(s=0\) から \(s=1\) への移動こそは, explicit reciprocity law によるワープ航法であり, 千年のうちには宇宙旅行に実用化されるように思える.
少し余白があるので, 小学校 1 年の息子の国語の教科書にある, 感銘を受けた童話のあらすじを紹介する. (松谷みよ子作. )
中略
(原文はとても美しい. 昔の国語の教科書には, こんな良い話はのってなかったような気がする. )
８月２０日にブルーバックスから『超弦理論入門』を出版することになりました。 これに先立ち、講談社では読者モニターを募集しているそうです。 募集締め切りは日本時間で今週の８月２日正午で、感想文の締め切りは８月１８日だそうです。 https://eq.kds.jp/bookclub/3526/とりあえず私も応募してきた. 大栗さん, 村山さんが最近頑張っているので, 超弦周りは色々本があるが, 物性周りで何かこういう動きないだろうか. 数学でももっとやってほしい.
数学から工学に移ったときは都落ちしたような悲哀を少し感じていたものですが 「工学の問題にどうやって数学を使うか」という問題はやってみると中々面白いです。 ノイズ、精度、計算コストの制約があるので単に数学的に解けば良いわけでもない。 そういう事がわからず、最初はかなり空回りしました。前にも書いたが, 応用数学というべきか数理工学というべきか, 工学での数学というべきかよく分からないが, つどいあたりでこの辺, 紹介してみたいと思っている. 参考にしたいのはこの辺.
