今よぬすさんとやりとりしていて, 細かいところが気になったので自分で証明書いてみた. 使っている本を正確に確認していないので, 実数の完備性に関わる公理のうちどれを使っていいか分からないため, この証明は暫定版. 必要があればまた書き直すなり追記するなりする.
定理 \(I\) を有界閉区間とし, 関数 \(f \colon I \to \mathbb{R}\) は連続と仮定する. このとき \(f\) は有界になる.
証明 \(f\) が非有界だとする. このとき任意の正数 \(M > 0\) に対して \(x \in I\) が存在して \(|f(x)| > M\) が成り立つ. 特に十分大きい \(n \in \mathbb{N}\) に対して \(x_n \in I\) があり, \(|f(x_n)| > n\) となる. 数列 \((x_n)\) は収束する部分列を持つ (これ使ってもいい？) が, \((x_n)\) 自身が収束するとしてよい. \(n \to \infty\) の極限が取れて \(\lim_{n \to \infty} |f(x_n)| = \infty\) となるが, \(f\) が連続で全ての \(x \in I\) について有限確定値を取ることに反する. したがって \(f\) は有界になる. \(\blacksquare\)
追記 「数列 \((x_n)\) は収束する部分列を持つ」は使ってよかったようだ.
