問題：双対空間の塔が無限に生成できる空間の具体例の構成, $L^{\infty}$ の双対空間の双対空間は何か

ふと思い立って こんなツイート とか こんなツイート をしてみた.

【緩募】（無限次元の非回帰的な空間で）双対空間の双対空間， という系列が無限に続いていき，しかも具体的にそれが書き表せるような例 

【緩募】\(L^{\infty}\) の双対はRadon測度の空間だが，このRadon測度の空間自体の双対空間が何者か

この間床の中でこれらがふと気になって寝付けなくなって困った. 関数解析を学べば誰でも知ることだが, 具体例を作ったことがなくてこれはまずい, と思ったのだ. 前者については山元さんから 次のようなコメント を頂いた.

@phasetr 考えるのはノルム空間ですか？ 

@hymathlogic 何でもいいです． 単純に例がたくさん知りたいのでむしろノルム空間の例もそうでない例も知りたいです 

@phasetr \(\ell^1\) はその例になっているようです。 (\(\ell^\infty\) より先の双対空間が)具体的か分かりませんが。 

@hymathlogic 何かに証明書いてありますか？ 

@phasetr kunenの「set theory」の演習問題です(証明分かりません汗)。 

@hymathlogic 悲しみ. 何はともあれありがとうございます

自分で作れ, という話ではあるのだが, 何かご存知の方は教えて頂けると私がとても喜ぶ.