tri_iro さん筋の情報: チャイティンの不完全性定理の方を使って人を騙そうという行為が横行しているようである

tri_iro さんはいつも本当に面白い.

最近はみんなゲーデルの不完全性定理には詳しくなって、ゲーデルの誤用はすぐバレてしまうから、正確な主張が世間にあまり認知されてないチャイティンの不完全性定理の方を使って人を騙そうという行為が横行しているようである。
— Takayuki Kihara (@tri_iro) 2014, 5月 15

この辺, 詳しい話を聞きたい.

「哲学の先生が国防総省から 750 万ドルのグラントを獲得ですってよ, 奥様 (ただし, やってるのは数学だそうな)」

ytb_at_twt さん筋の情報.

哲学の先生が国防総省から 750 万ドルのグラントを獲得ですってよ,
奥様 (ただし, やってるのは数学だそうな)
https://www.cmu.edu/news/stories/archives/2014/april/april28\_awodeygrant.html


Awodey が圏論 +HoTT で国防総省から 750 万ドル!
数学の基礎は金になる!
QT @optical_frog: 哲学の先生が国防総省から 750 万ドルのグラントを獲得ですってよ,
奥様 (ただし, やってるのは数学だそうな)
https://www.cmu.edu/news/stories/archives/2014/april/april28\_awodeygrant.html

感動のストーリー.

「選択公理で極大無矛盾な理論に拡張すれば不完全性定理と矛盾しないか?」

こんさんと p 進大好き bot の基礎論というかロジック関係のトーク.

しかし「選択公理で極大無矛盾な理論に拡張すれば不完全性定理と矛盾しないか? 」というのは一瞬悩んだしよい練習問題ではある.


@mr_konn 理論っていうものよく知らないんですけど,
理論全体のなす何かは集合として定式化できる感じですか?
(そして選択公理ってここではメタ言語なんでしょうか. 選択公理が成り立つ集合理論の中で更に理論の全体を・・高階の論理や高階の圏論みたいで頭が痛くなりそうですね).


@non_archimedean 理論とは論理式の集合のことだと思えばよいです.
言語 L を固定すれば,
論理式の長さは有限ですから言語 L に含まれる記号の全体が集合なのなら L の論理式全体は集合をなし,
ひいては L の理論の全体も集合になりますね.


@non_archimedean で, メタ理論云々の話ですが.
この辺りは入り組んでいてパッと説明するのは難しいのですが
ナイーブには選択公理が成り立つような集合論の中で論理式をエンコードして,
それを自然数とかほかの数学的対象を集合論の中で扱うのと同じようにしていると思ってよいです.


@mr_konn なるほどー.
この場合「理論」=「論理式の集合」は「原始命題系」で,
それとは別に公理や演繹規則が既に固定されているという感じでしょうか?
(それとも動くのは公理や演繹規則・・?)


@non_archimedean むしろ理論が公理系 (やそれに帰結を足したものでもよいですが) になっています.
論理的な公理や推論規則については,
基盤とする論理体系によって決まっていて, その上に理論を載せて数学をする感じです


@mr_konn 言語 L を集合と見るのはあくまで記号の問題ということでモデルをとっているわけではないと解釈すると,
ここで公理系の「帰結」というのは「証明可能命題」よりむしろ「恒真命題」のことでしょうか.
(その無矛盾公理系を充足するモデルが存在しない時どうなるのか分かりませんが).


@non_archimedean あぁ, たんに「理論に (集合として) 含まれる命題どうしが互いに独立でなくてもよい」くらいの意味です.
ちなみに無矛盾な公理系には必ずモデルが存在し,
逆もまたしかりというのがゲーデルの「完全性」定理です.


@mr_konn 論理は 1 階なのですね・・


@non_archimedean はい.
集合論の内部なので一階で不自由ないですし, モデル理論はもっぱら一階の理論を扱います.


@mr_konn なるほど.
しかし僕は論理弱者なようで結局 (排中律と自然数論を含んだ上で) どう矛盾が解消されるのか分かりませんでした・・.
答え (?) のようなものはございますでしょうか.
ご教授していただけたら助かります.


@non_archimedean 不完全性定理の前提として, 理論が再帰的公理化可能であるという条件があります.
つまり, 論理式が与えられた時に, それが公理であるかどうかをチューリングマシンなどで機械的に判定出来る必要があります.
選択公理で膨らませたら, 当然この条件は満たしません.


@non_archimedean 感覚としては「だったら実数に具体的な順序を入れて整列して見せてよ! 」「 W ・ O ・ T!W ・ O ・ T! 」とおなじ状況です


@mr_konn なるほど!
そもそも不完全性定理を「自然数論を含む無矛盾な公理系」に対する主張だと思い込んで生きてきていました!
演習を解く舞台にも立てていませんでした・・.
どうもありがとうございます.

この辺, 一度はきちんと勉強したいと思っているがなかなか機会がない.
数学ガールもラノベとしての楽しみ方しかしていなくてあまり数学を追っていない.

宣伝協力: 超準解析シンポジウム 日時: 5 月 26 日 (月) ~ 5 月 28 日 (水)

宣伝協力.

超準解析シンポジウム講演締切 5/7 日です (再宣伝) http://www.jaist.ac.jp/~y-keita/2014SLACS-NSA/index.html
ふだんツィッター見てる感じだと, 超準解析に潜在的に興味ある人ってかなり多そうなのに,
なんで超準解析シンポジウムは参加者少ないんだろう…….

参加者が少ない理由,
興味があるのは市民ばかりだから平日はお勤めで参加できないという説がある.

【不完全性定理のキモは帰納法でも自己言及でもなく「掛け算」なんだ!】

な, なんだってー!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.

某不完全性定理に関するエッセイ読んだけど, ところどころもにょもにょする.
妙に背理法強調してたり (関係あるのか?),
「ペアノの公理系に不完全性定理があてはまる理由は数学的帰納法を含んでいるから」とか (ロンビンソン算術の立場は…)


あああぁ, ロンビンソン算術ってなんだよいったい. ロビンソン算術だよ.


足し算と掛け算をもつロビンソン算術は不完全定理が適用できて,
足し算のみのプレスバーガー算術には適用できず実際完全.
ということは不完全性定理のキモは帰納法でも自己言及でもなく「掛け算」なんだ! と言ってみるテスト.

かけ算, つらい.

tri_iro さん筋の情報: SLACS 2014 2014 年度超準解析シンポジウム 5 月 26 日 (月) ~ 5 月 28 日 (水)

超準解析に関する tri_iro さん情報だ.

SLACS2014 あんど超準解析シンポジウム http://www.jaist.ac.jp/~y-keita/2014SLACS-NSA/index.html
そういや, 超準解析シンポジウムに若い人 (30 代以下の人) が全然来ないという
超準解析シンポジウム関係者の嘆きの声を最近聞くので, リンク貼って呼び込みしておこう.
みんな超準解析やろう~

平日なので私は行けないが宣伝には協力しておこう.

「どの分野にも非専門家に広く信じられている間違いがあります. リストを作っておくと啓蒙書を選ぶ時に便利です.」

かもさんの指摘があったのでメモ.

どの分野にも非専門家に広く信じられている間違いがあります.
リストを作っておくと啓蒙書を選ぶ時に便利です.


数理論理学で非専門家に広く信じられている間違いのリストの作りかけです.
http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-b.html
まだ三つしかありません.
不完全性定理と数学的帰納法の項目を追加しなくては.

間違いを引用しておこう.
正確な記述は上記ページを直接参照してほしい.



よくある間違い1 「一階述語論理は弱いので完全だが自然数論ぐらい強くなると不完全になる」


よくある間違い2 「正則性公理（基礎の公理）はパラドックスを排除するために導入された」


よくある間違い3 「直観主義論理では、ラッセルのパラドックスは生じない」

Nik Weaver, Forcing for Mathematicians に集合論的手法の $C^*$-代数への応用みたいな話が載っているらしい

tri_iro さん筋の情報だ.

6 月に出版予定らしい Weaver の "Forcing for Mathematicians"
http://www.amazon.co.jp/gp/product/9814566004/ が気になる.
集合論的手法の \(C^*\)-代数への応用みたいな話が載ってるっぽい.


@tri_iro Calkin 環とかの話でしょうか.
学会で何かそんな話を超楽しそうに話していた講演を軽く聞いたことがあるだけなのですが


@phasetr 本の中身の詳細は知らないのですが, 著者が Nik Weaver なので,
Calkin algebra 関係の話は入ってくると思います (たぶん)

Calkin 環の話, 一度きちんとやってみたいとは思っているものの何もしていない.
Calkin 環, 定義はかなり簡単 (学部 4 年で十分に分かる) のに,
結構最近解かれた未解決問題があったりと結構面白そうな対象なのだが.

tri_iro さんが古典解析にロジックで殴りかかって地獄を噴出させるらしいので

tri_iro さんツイート.

あの辺はもともと 100 年前の古典実解析っぽい話なのに,
ネガティブ方向からは Steprans 強制法,
ポジティブ方向からはガンディ-ハーリントン強制法と隈部-スレイマン強制法で挟み撃ちという地獄絵図になっていて楽しい.
みんなももっと古典解析にロジックで殴りかかって地獄を噴出させよう

あの辺というのはこの辺だろうか.

今日はこちらを訪問中のポールと弱いモデルで Laver 強制法が Laver property を満たさないのではないかという議論をしていた.
Miller 強制法なら \(L_{\omega 1 ck}\) でも Laver property を満たすのに, Laver 強制法ときたら……

何はともあれ正座待機だ.

ぞみさんが Kunen の『集合論-独立性証明への案内』をおすすめしていたので

ぞみさんが本についてツイートしていたので.

『集合論-独立性証明への案内』 http://www.amazon.co.jp/dp/4535783829 これ, 引っかかりそうな落とし穴を丁寧にフォローしてて捗るんだよなあ… (捗るという単語が試験期間には悪い方に作用する珍しい例だ).

Kunen の本だった. 覚えておこう.

mr_konn さんの PDF: 『Measure Problem と可測基数』

こんさんが PDF 的なものを上げている.

Measure Problem と可測基数 - http://konn-san.com http://konn-san.com/math/measurable-cardinals.html レポートで書いた可測基数とか連続体仮説のはなしを加筆修正して公開しました. PDF 版はこちら: http://konn-san.com/math/measurable-cardinals.pdf

時間をひねり出して読みたい.

patho_logic さんの悲しみと大阪府立大学の嘉田勝先生による『連続体仮説が実数の解析的性質に与える影響』に関する PDF

大分前の話で既に周辺情報を辿るのを断念しているのだが, 何か連続体仮説の周辺で地獄の底から湧き上がってくるタイプの話が出たようで patho_logic さんが泣いていた.

連続体仮説と数学のかかわりをまとまった情報を発信する必要があるんでないかい. 

@patho_logic 連続体仮説に限らず, ロジック全般について``普通の数学とは無関係"と思われている感じある. 

@patho_logic 関係者はみんな思ってるんですが藪から蛇が出るのを恐れて言えないでいるのです. 蛙さん蛇好きですか (キラリ 

@tenapi 蟾蜍「ヤマカガシ以外なら撃退できそうですが…」まずは話題を集めるところから. 

@functional_yy 「お前も普通じゃなくしてやろうか? 」とか喚きつつ他分野を荒らしたいです. 

@patho_logic 全然「まとまった情報」でないですが微力ながらの貢献のつもり→ http://researchmap.jp/mumjksfma-1782995/#\_1782995

とりあえず patho_logic さんの悲しみは御自分で処理して頂くことにし, とりあえず嘉田先生の PDF を読んでみた. 上記リンクから情報を抜き出しておこう. 4 ページしかないし, 興味がある向きは実際に PDF を読んでみよう.

タイトル 連続体仮説が実数の解析的性質に与える影響 

カテゴリ 講義資料 

概要 大学院講義用に作った資料です. 連続体仮説を仮定すると累次積分順序交換で値が変わる関数を構成できるという Sierpinski の結果の紹介.

またポーランド学派か, というアレだ. ひとまず耐ショック体制を取っておく.
またもや冒頭部から抜き出そう.

ZFC は伝統的な数学諸分野をすべて包摂する公理系なので, 「 ZFC で真偽を決定できない」とは, すなわち「伝統的な数学の証明能力を超越した問題である」ことを意味する. 

それでは, CH の真偽はどれほど「伝統的な数学」に影響を及ぼしうるだろうか. 「 CH が真であろうが偽であろうが, 伝統的な数学では手が届かないところで起こっている現象なのだから, それが伝統的な数学に影響を及ぼすとは思えない」という考えは一理ある. 

本稿では, この疑問へのひとつの答として, 連続体仮説の真偽が実数の解析的性質に影響を与えるひとつの例を紹介する.

当然だがのっけから殺傷力が高い.

P.2 

すなわち, ルベーグ測度が定まらない実数集合 (ルベーグ不可測集合) が存在する.

「非可測」ではなく「不可測」と書かれている. 何かのこだわりを感じる方の市民だ.

P.3 

実数直線の単位閉区間 \(I = [0,1]\) は実数全体の集合 \(R\) と対等なので, \(|I| = 2^{\aleph_0}\) である. したがって, 連続体仮説 \(2^{\aleph_0} = \aleph^{1}\) は, \(I\) に属する実数全体を順序型 \(\omega_1\) で整列順序に並べて \(I = \left\{ r_{\alpha} | \alpha < \omega_1 \right\}\) と表せるという主張と同値である.

ということらしい. 書き写すのが面倒なので省略するが, 次の定理 3.1 から Sierpinski の結果になる. 定理 3.2 で件の関数の存在を示している.

最後の定理 3.3. (ラスコビッチ・フリードマン・フライリンク) がまた凄かった.

不完全性定理という人間知性に深く埋めこまれた地雷除去に携わる方々に敬礼

Twitter で何かあったらしく, 不完全性定理が話題になっていたので次のようなツイートをした. これ や これ だ.

専門家でもないのに不完全性定理という言葉を使っている人間は知性を放棄した人間ととらえてまず間違いない 

不完全性定理, うかつに言及すると各方面の専門家からの苛烈なアタックを受けるので常に細心の注意を払っている. ネタでの利用すら危険だ

関連して次のようなやりとりもした.

専門家でもないのに不完全性定理という言葉を使っている人間は知性を放棄した人間ととらえてまず間違いない 

現代思想系全滅 ww "@phasetr: 専門家でもないのに不完全性定理という言葉を使っている人間は知性を放棄した人間ととらえてまず間違いない" 

@gakeau 現代思想, 不完全性定理の話がなくても知性の敗北ではないでしょうか

より困惑したのはこちらのやりとりだ.

不完全性定理, うかつに言及すると各方面の専門家からの苛烈なアタックを受けるので常に細心の注意を払っている. ネタでの利用すら危険だ 

@phasetr 相転移さんですらそうなのか. アタックを蹴散らしてるもんだとばかり思ってたのだが... 自己減給だ. 

@kyon_math どこにでもいる平凡な市民ですので

kyon_math さん, 発言を見る限りどう考えても数学者である一方私はただの市民なのだが, 私はどういう評価を得ているのか.

鴨さん (kamo_hiroyasu) ややたべさん (ytb_at_twt) さんに監視 (フォロー) されているので, 迂闊なことはいえない. 数学ガールの不完全性定理も, 現実には起こりえなかったラノベパートを楽しんだだけで数学部分はあまり真面目に追っていない.

もう少し勉強するか. でも多変数関数論とかやりたいし, その他にもこう色々と勉強したいこと, しなければいけないことが多くてつらい.

An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis

魔法少女と次のような会話を交わし, 参考文献を教わってきた.

つどい, 一人で複数個発表してもいいの 

@functional_yy 集合論とロジックで制圧説 

@phasetr 楽園 

@functional_yy 超準解析と物理学で殴られる 

@phasetr 直観主義者として smooth infinitesimal analysis を推してゆきたい 

@functional_yy 参考文献教えてください 

@phasetr http://www.math.cornell.edu/~oconnor/sia.pdf 

@functional_yy ありがとうございます. あとで読みます

というわけで参考文献を読んでみた.

Axiom 1. 略
Furthermore, we have that \(\forall x ((x \neq 0) \Longrightarrow (\exists y xy=1))\), but I don't want to call \(R\) a field for a reason I'll discuss in a moment.

\(R\) を体と言わない (そもそも \(F\) とか \(K\) と書かない) らしい. 行方を注視しよう.

Axiom 2. 略
but I don't want to call \(<\) total, for a reason I'll discuss in a moment.

無限小とか出てくると色々アレなのだろう, という話なのだろうが, 割と戦慄する.
Axiom 4. がやばい. 初見, 意味が分からなかったがその後の説明を読んで戦慄. 興味がある向きは実際に P.2 をご覧頂きたい. 無論, 直観主義の話であって, 排中律が使えない (採用しない) というその辺の話だ.

Fact.
There is a form of set theory (called a local set theory, or topos logic) which has its underlying logic restricted (to a logic called intuitionistic logic) under which Axioms 1 through 4 (and also the axioms to be presented later in this paper) taken together are consistent.

topos logic, 名前だけで修羅っぽい.

2 節ラストで Axiom 1, 2 での注意も明かされる. 引用が面倒なので各自確認されたい.
Proposition 1. は全ての \(f \in R^R\) で成り立つの. やばいのでは.

Proposition 3. の curve というの, 何を言っているの. 「連続関数」とかいうのは入っているの. ただの関数と思っていいのこれ. Straight の意味が分からない. P.5 で積分が出てくるが, これ定義何なの.

\(D\) が抽象的にしか与えられていないが, これ, そもそも具体的に書けるのだろうか.

参考文献, Sheaves in geometry and logic とかある.

何かよく分からないがやばそうだということだけ把握し, 一旦撤退する. 微分幾何やりたい. あと超準解析と物理学読みたい.

「順序数解析という魔境」について tri_iro さんに悪魔のような文献を教わったので共有したい

最近忙しくて Twitter 上で応答できなかったのだが, いつも通り覚書としてこちらに書いて残しておこう. tri_iro さんから次のような情報を頂いた. ありがたい限りだ. お願いしたわけでもないのに色々と教えてくれるというの, 最高に楽しい.

宣伝:2013 年 8 月 5 日 (月)-7 日 (水) に慶応の三田キャンパスで数学基礎論サマースクール 2013 が開かれる http://goo.gl/fb/ZIxUB よく分からない数学 

@phasetr 言及されていることに今更気づいたのですが, 順序数解析は, なんというかもはや順序数云々を越えたもっとやばい魔境ですね.https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal\_analysis 

@phasetr ゲンツェンによる「順序数 \(\epsilon_0\) の下での」 ペアノ算術の無矛盾性証明は聞いたことがあるかもしれませんが, それをスタート地点とする話で, このあらい先生の解説 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/57/2/57\_2\_113/\_article/-char/ja/を見ると, その魔境具合を体感できます.

ゲンツェンやばい. そして折角なので後者のを軽く眺めてみた.

事実, 後に Hilbert の 第 10 問 題 (Di0phantus 方程式の可解性の決定) の Matijasevic-Robinson-Davis-Putnam による否定的解決により, CON (T) は Diophantus 方程式が自然数解を持たない \(\forall \vec{x} \in \mathbold{N} \left[ p (\vec{x}) \neq 0 \right]\) という命題と同値である.

P.2 の記述なのだが, Diophantus, そんなにやばい問題だとは知らなかったので, まずそこで驚いた.

同じく P.2 の無限降下法, 名前が格好いいので一度は使いたいと思いつつ使ったことがない学生生活だった.

ひとは詩しく思うかもしれない:ここで言う`構成的'とはいかなる謂か? 数学的に正確に定義されているか? 例えばある公理系 T で形式化できることが`構成的'てあるための必要十分条件となるような T があるのか? これに答えて曰く:Hi1bert'spr0gram のような grandprogram において, その開始以前にこのようなことを問うことは単なる怯儒というべきである. 何が構成的か, あるいは得られた証明が構成的か否かは, 証明が得られてから吟味すればよいし, その価値は得られた洞察から判断するほうが生産的である.

それはそうなのだろうが, (基礎論の) 素人の素朴な感覚としては, やはり真っ先に考える.
P.3 の次の記述がよく分からなかった. 明らかなのか.

この`簡易化'のステップが終了して \(0=1\) の数学的帰納法なしの証明が得られたら, 矛盾. なぜなら数学的帰納法なしの矛盾に至る証明があり得ないことは明らかだから.

あと, 次の一文, かなり切れていると思う.

このステップの有限性を保証するのに超限順序数を導入する.

有限性を保証するのに超限何とかを担ぎ出すとか並大抵の発想ではない. もちろん, 言葉の上で有限の対として無限があるのだから当たり前といえば当たり前ではあるが, 改めて言われると衝撃を受ける.

P.6
直感を欠いたままで組合せ論的につくられたものが, 後に発見された集合論的直観を先取りしていたのは驚きである.

何かびびっと来るものを感じたので抜き出しておく.

P.7
ところで, このような集合の定義の仕方は, 数学では Borel 集合族 \(\mathscr{B}\) の定義が典型的である.

戦慄した. あと. この辺からもう何を言っているのかほぼ完全に分からなくなっている.

P.9
竹内外史の (brutal な) テーゼに従おう

これ, 無駄に格好いい一文だ

P.12
6 結 語 しかしなにより謎なのは, 何故 Gentzen (そして竹内外史) は, 不完全性定理の後に無矛盾性証明に挑んだのか, ということだ. 不完全性定理のために, そのような証明がいかなるものであれ, その認識論的価値は大幅に減じたことが確かなのに.

胸に来る一文だ.

結論からいうと, 新井敏康先生は面白い文章を書く人だったということが分かった.

宣伝：2013年8月5日（月）-7日（水） に慶応の三田キャンパスで数学基礎論サマースクール 2013 が開かれる

2013年8月5日（月）-7日（水） に慶応の三田キャンパスで数学基礎論サマースクール 2013 が開かれるらしい. テーマは「証明と構成」とのこと. これ だ.

Twitter の TL の話題によると, スピーカーも豪華らしいので行ってみたいとは思うのだが, 平日というのは市民には厳しい. ただしそもそも対象にされていないという説もある.

tri_iro さんのこんな話 もあった.

数学基礎論サマースクール2013 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/school2013.html 今年のテーマは証明論と聞いていたので、順序数解析とかの話を聞けるのかな、と思いきや、 そっち系じゃなくて非古典論理系がメインなのかな。 あらい先生は順序数解析の話してくれないのかー……。

順序数, 学部 1 年の集合論で超限帰納法絡みで一瞬出てきて以降全く満たことない. まだまだ私の知らない魔境がある.