代数学の基本定理をBrown運動の再帰性から出す http://t.co/iyylZBlS6t
— 本当の自分 (@nloglogn) 2014, 7月 11
これは面白い.
7月31日新刊予定
『幾何学と代数系』金谷健一（森北出版）
本書は、幾何学的代数の和書初となる入門書である。まず、背景をなすハミルトン代数、グラスマン代数、クリフォード代数を初歩からていねいに解説しているため、初学者でも自然に幾何学的代数の考え方を学ぶことができる。
— 書泉グランデMATH (@rikoushonotana) 2014, 7月 10
書泉グランデMATH, 面白そうな本をたくさんツイートしてくるのでつらい.去年の環論の演習で「単位的環 \(R\) とその加法についての部分群 \(S\) で,
\(S\) が \(R\) の乗法で閉じていて単位的環となるが \(R\) と \(S\) の単位元が異なる例を挙げよ」という
問題を考えて少し悦に入っていたが零環でない環 \(R\) と \(S=\{0\}\) をとれば明らかだった.
(昔, \(R \to R \times R\), \(x \mapsto (x, 0)\) について \(\mathrm{Spec} \, (R \times R) \to \mathrm{Spec} \, R\) を
とってしまうような間違いを 1 時間くらいしていて悩んだことがあったので……)
@nolimbre 2 次正方行列の環 \(R\) と, \((1, 1)\) 成分以外 0 な部分加群 \(S\) とか.
@nolimbre 「単位的環においては単位元と零元は異なるものとする」と
断ってあるのをなんかの教科書で見たような気がします.
@kyon_math @nolimbre そういう流儀もあると思いますが,
零環を許さないと, 空集合が affine scheme で無くなってしまう気もするのです.
@atomotheart @nolimbre いや, 単に「呼び方の便宜上の話」だと思います.
「本書では環と言えば単位的な可換環のことをさす」とか,
その手の類いで, 定義として採用しているわけではない.
#誤解を招くつぶやきだった
@kyon_math @atomotheart 零環を排除すれば一見楽に見えますが, 終対象なので, ないといろいろ不便ですよね.
(テンソル積が一般にとれなくなる, それに伴ってスキームのファイバー積がとれなくなるなど)
僕は以前零環を軽視していて総ツッコミを受けました
@iwaokimura そういうのもありますね.
(あまり関係ないですが, 初めて代数群の定義を見たとき「なるほど, 体を加法群とみたものなんかは代数群ではないんだな」と思ってしまいました).
@nolimbre @atomotheart 私が勤めはじめた頃,
かなりお年を召した代数学の教授が 「零次元のベクトル空間なんて, そんなものありゃあせん」と主張して,
困ったことを思い出しました.
#いまは何もかも懐かしい
@kyon_math @atomotheart そ, それは過激ですね…… ww
今日古田先生にお会いする機会があったので DVD を渡してきたのだが, 「環から部分環を除いた集合は環になるか」というところで「実際になる例はあるのですか」と速攻問い返されて本当に大丈夫か即答できなくて泣いた一度つどいで指摘を受けたのにきちんと消化しきらずにいたこと, 恥ずべき怠惰である.
@phasetr 仮に環の定義から単位元の存在と零環を除いたとしても, 環の非自明な包含 \(S \subset R\) に対して \(s \in S \setminus \left\{ 0 \right\}\) と \(r \in \setminus S\) とれば \(r=(r-s) +s\) なので \(r-s \in R \setminus S\) となり \(r-(r-s)=s \in S\) だから \(R \setminus S\) は環にならないですよね.
@non_archimedean 本当だ. ありがとうございます. この程度の議論がすぐに想起できないことに涙を禁じ得ません
Our text"A Term of Commutative Algebra"aims to be an updated, improved version of Atiyah and Macdonald’s 1969 classichttp://bit.ly/12wuOX0
Altman/Kleiman すげー．アティマクを越えると宣言してるのか．http://bit.ly/1dzKTkU
アルトマン・クライマンの可換環論，電子版は無料だった．すげー．A Term of Commutative Algebra by Altman and Kleiman http://bit.ly/1dzKTkUPDF なら無料な上, アティマク越えを目指しているとのことなのでとりあえず買ってみた (ダウンロードしてみた). これから読む. 使えそうなら誰かとゼミしてしっかり読み込みたい. 他にも Milnor の Morse 理論も読みたいし, Lieb-Seilinger の Stability of matter も読みたい. あと, 2 年くらい放置している論文もいい加減仕上げたい.
x^4=x 以外にも 2,3 で似た様に示せて, 条件が付けば n でもいけるっぽい事示せて何これとか思ったらもっと強い結果が割と普通の証明付きで知られているようだ http://www.mateforum.ro/articole/jacobson.pdfこれは一般の環で言えるらしい. まず \(n=2\) の場合の定理の言明を書いておこう.
Lemma 1.1この 2 を \(n\) に一般化できるか, という問題で, 流れとして division ring (和訳忘れた) で示してから一般に示すことになっている. 長くない上にそう難しくもないので, 興味がある向きは自分で PDF を追ってほしい.
If \(x^2 = x\) for all \(x \in R\), then \(R\) is commutative.
We can think of this as a generalization of the well-known fact that every finite division ring is a field.これを知らない程度に代数弱者の市民である.
クラインの19世紀の数学なんか読んでると、群とは置換の集合であり、 ってな感じでもう明らかに変換群。 しかし、変換群を離れて単純群の分類とか抽象的になりすぎたきらいもあるかな。 やはり「変換群」というのは群の本質をついていると思う。純代数の人達, 群論愛護協会作った方がいいのでは.
@kyon_math いったん抽象化したところで、 結局は「モンスター群をAutにもつ多様体を具体的に作れ」という幾何的構成に戻りますからね。 でも、もし「群論愛護協会」があれば、生成元と関係式による定義にも、幾何的構成にも反対するでしょうか？？
@Paul_Painleve 群て確か指標表が先に出てきたんですよね。 モンスターもそうだった。 バカでかいのにやけに簡単な（きれいな？）指標表を持つというのが最初だったような...
「絶対に元を取ってはいけない幾何学」だったかを思い出した
@mr_konn 何かそういう文章あるのですか。読んでみたい
@phasetr いえ、ネタとして出てきたフレーズでした。
@mr_konn 無念
@phasetr 相転移Pが書いてください！
@mr_konn 幾何、本当に知らない（分かるとかいう前にろくに勉強していない）ので何ともならないですね。何とかしようとは思っていますが
有限体のなかに無限体が含まれるなんてのは無理なのかなあ
@HiroMessAround どういう定義を採用しているのか分かりませんが、 私の知っている定義からすると定義からあり得ません
@hiromessaround 元々どういう問題を考えていたのでしょうか。 むしろそちらをきちんと意識することが大事です
@phasetr 有限のもののなかに無限のものが包まれるようなことってあるのかなあと思ったもので・・・ 特に具体的に考えてたわけではないのですが。
@HiroMessAround HiroMessAroundさんの想定とは(大幅に)違うかもしれませんが 問題の立て方次第では類似（？）の問題が考えられます. 例えば, 有限部分体全体がいくつあるか, という問題です. 元の体が何かによりますが, 無限個ある場合はあります
@HiroMessAround 一般にある無限集合の有限部分集合がいくつあるか, という問題も立てられます. 有限生成の問題というのも考えられます. 有限集合から無限集合を適当な意味で復元できるか, という問題で, 有限次元線型空間は基底(有限個)から無限集合が復元できます
@HiroMessAround また逆に無限体が必ず有限体を含むか, という形の定式化も考えられます. 例えば有理数体には部分体が自分自身しかないことが証明できるので, 有限部分体を含まない無限体が存在することが分かります.
@HiroMessAround となると有限部分体を持つ無限体自体がそれ程当たり前の存在でもなくなるので, 元の問題に別の光が当たります. 何を意図してそう思ったのか私には分かりませんが, 非自明な問いも作れる話題に転換することはできるので色々考えると楽しいかもしれないということで
<問題A>実数体Ｒの真部分体で、Ｒと体同型となるものは存在するや否や？
No proper subfield of $\mathbb{R}$ is isomorphic to $\mathbb{R}$.Suppose that $K$ is contained in $\mathbb{R}$ and $f : \mathbb{R} \to K$ is an isomorphism.As each positive number is a square in $\mathbb{R}$, the map $f$ is order preserving.Also $f$ is trivial on $\mathbb{Q}$.Hence $f$ is the identity map, and $K = \mathbb{R}$.
有理数体と実数体の間にそれらとは異なる群は無いと思うんですが、あるのでしょうか？教えてください。いいえ、とても、数え切れないほど、たくさんありますよ。Q(√2)もそうですし、まだまだ、たくさんあります。
（問題） (1) 有理整数環 Z の部分環の個数を求めよ。(2) 有理数体 Q の部分体の個数を求めよ。(3) 有理数体 Q の部分環の個数を求めよ。
（解答）(1) 1 個。(2) 1 個。(3) 無限個。