ある環が可換環になる十分条件: Jacobson's Commutativity Theorem

何かよく分からないが, 環が可換環になる十分条件的なアレで Jacobson's Commutativity Theorem という面白そうな話があるらしい. これ だ.

x^4=x 以外にも 2,3 で似た様に示せて, 条件が付けば n でもいけるっぽい事示せて何これとか思ったらもっと強い結果が割と普通の証明付きで知られているようだ http://www.mateforum.ro/articole/jacobson.pdf

これは一般の環で言えるらしい. まず \(n=2\) の場合の定理の言明を書いておこう.

Lemma 1.1
If \(x^2 = x\) for all \(x \in R\), then \(R\) is commutative.

この 2 を \(n\) に一般化できるか, という問題で, 流れとして division ring (和訳忘れた) で示してから一般に示すことになっている. 長くない上にそう難しくもないので, 興味がある向きは自分で PDF を追ってほしい.

ところでこんな記述があった.

We can think of this as a generalization of the well-known fact that every finite division ring is a field.

これを知らない程度に代数弱者の市民である.