patho_logic さんの悲しみと大阪府立大学の嘉田勝先生による『連続体仮説が実数の解析的性質に与える影響』に関する PDF

大分前の話で既に周辺情報を辿るのを断念しているのだが, 何か連続体仮説の周辺で地獄の底から湧き上がってくるタイプの話が出たようで patho_logic さんが泣いていた.

連続体仮説と数学のかかわりをまとまった情報を発信する必要があるんでないかい. 

@patho_logic 連続体仮説に限らず, ロジック全般について``普通の数学とは無関係"と思われている感じある. 

@patho_logic 関係者はみんな思ってるんですが藪から蛇が出るのを恐れて言えないでいるのです. 蛙さん蛇好きですか (キラリ 

@tenapi 蟾蜍「ヤマカガシ以外なら撃退できそうですが…」まずは話題を集めるところから. 

@functional_yy 「お前も普通じゃなくしてやろうか? 」とか喚きつつ他分野を荒らしたいです. 

@patho_logic 全然「まとまった情報」でないですが微力ながらの貢献のつもり→ http://researchmap.jp/mumjksfma-1782995/#\_1782995

とりあえず patho_logic さんの悲しみは御自分で処理して頂くことにし, とりあえず嘉田先生の PDF を読んでみた. 上記リンクから情報を抜き出しておこう. 4 ページしかないし, 興味がある向きは実際に PDF を読んでみよう.

タイトル 連続体仮説が実数の解析的性質に与える影響 

カテゴリ 講義資料 

概要 大学院講義用に作った資料です. 連続体仮説を仮定すると累次積分順序交換で値が変わる関数を構成できるという Sierpinski の結果の紹介.

またポーランド学派か, というアレだ. ひとまず耐ショック体制を取っておく.
またもや冒頭部から抜き出そう.

ZFC は伝統的な数学諸分野をすべて包摂する公理系なので, 「 ZFC で真偽を決定できない」とは, すなわち「伝統的な数学の証明能力を超越した問題である」ことを意味する. 

それでは, CH の真偽はどれほど「伝統的な数学」に影響を及ぼしうるだろうか. 「 CH が真であろうが偽であろうが, 伝統的な数学では手が届かないところで起こっている現象なのだから, それが伝統的な数学に影響を及ぼすとは思えない」という考えは一理ある. 

本稿では, この疑問へのひとつの答として, 連続体仮説の真偽が実数の解析的性質に影響を与えるひとつの例を紹介する.

当然だがのっけから殺傷力が高い.

P.2 

すなわち, ルベーグ測度が定まらない実数集合 (ルベーグ不可測集合) が存在する.

「非可測」ではなく「不可測」と書かれている. 何かのこだわりを感じる方の市民だ.

P.3 

実数直線の単位閉区間 \(I = [0,1]\) は実数全体の集合 \(R\) と対等なので, \(|I| = 2^{\aleph_0}\) である. したがって, 連続体仮説 \(2^{\aleph_0} = \aleph^{1}\) は, \(I\) に属する実数全体を順序型 \(\omega_1\) で整列順序に並べて \(I = \left\{ r_{\alpha} | \alpha < \omega_1 \right\}\) と表せるという主張と同値である.

ということらしい. 書き写すのが面倒なので省略するが, 次の定理 3.1 から Sierpinski の結果になる. 定理 3.2 で件の関数の存在を示している.

最後の定理 3.3. (ラスコビッチ・フリードマン・フライリンク) がまた凄かった.