相変わらず $\mathbb{R}$ と $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ が魔境だったので

よく分からないがゼルプスト殿下が魔境の入口のようなことを言っていたので, とりあえず記録しておく. これ と これ だ.

連続函数についての演習でたまに出てくる, 無理数にゼロ, 有理数に既約分母の逆数を対応させる函数を \(g (x)\) とするなら, \(f (x) = x + \sqrt{2} g (x)\) で決まる函数 \(f (x)\) は \(\mathbb{R}\) から \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) へのベール 1 級の全射の例になる. むろん全単射ではない.

\(\mathbb{R}\) から \(\mathbb{R} \setminus{Q}\) への単射を具体的に構成するのがひと苦労やね. 例えば 10 進展開を 16 進読みしてしかもところどころに (平方数ケタ目とか) に 16 進の \(A\) とか \(B\) を挿入して非循環少数にするとか. どのみち連続写像でないのできれいな閉じた式では書けない.

連続写像だからといって綺麗に書ける保証もないのでそこはアレだが, 比較的「分かりやすい」ところで地獄っぽく, こういうのはかなり気にいっている. 自分でも色々作れるようになりたい.