覚書：Cantor 集合が連続体濃度である証明

色々あって, この間 Cantor 集合が話題になった. 連続体濃度を持つというのは知っていたし 3 進展開を使うとうまくいく, 的なことも知ってはいたが, 証明をきちんと追ったことがなかった. いい機会なので証明を記録しておきたい. 参考 PDF をもとに証明を書いておこう.

まず Cantor 集合を定義しておく. \(I = [0, 1]\) としよう. ここから開区間 \(I_n\) をがんがん抜いていって作る集合が Cantor 集合だ. この \(I_n\) を定義していく.

\(I_1\) は \(I\) を 3 等分したときの真ん中の (開) 区間 \(I_1 = (1/3, 2/3)\) だ. \(I_2\) は \(I \setminus I_1\) の 2 つの区間をそれぞれ 3 等分した集合の真ん中の区間の合併となる. つまり \(I_2 = (1/3^2, 2/3^2) \cup (7/3^2, 8/3^2)\) だ. これを無限回繰り返すと Cantor 集合 \(C\) になる. つまり \(C = I - \cup_n I_n\) だ.

性質のその 1: \(C\) の Lebesgue 測度は \(0\) になる.

\([0, 1] \setminus C = \cup_n I_n\) の測度が 1 であることを示せばいい. \(\left| I_n \right| = (1/3) (2/3)^n\) で \(I_n\) が互いに素なので, これを素直に足し上げて \(\left| I_n \right| = 1\) で終わり.

性質その 2: Cantor 集合は閉で nowhere dense.

nowhere dense の定義は \(\mathrm{Int} \, \overline(C) = \emptyset\). では証明.
\(C\) が閉なのは自明. \(C\) が Lebesgue 測度 0 なので, \(C\) は測度正の (開) 区間を含まない. したがって \(C\) は nowhere dense.

性質その 3: Cantor 集合は非可算集合.

全射 \(f \colon C \to [0, 1]\) を作る. \(x \in [0, 1]\) を 3 進展開する. これに合わせて \(1/3 = 0.1\), \(2/3 = 0.2\) と書く. 最初に除いた集合 \(I_1\) は \(0.1\) と \(0.2\) の間にある. これを繰り返すと, \(C\) に現れる数を 3 進展開したときに 1 は決して出てこないことが分かる.

全射を実際に構成しよう. \(x \in C\) とし, これを 3 進展開したときの 2 を全て \(1\) に変え, それを 2 進展開に読み替える写像を \(f\) とすればいい. 全射性は自明.