愛された単位元のない可換環, $L^1(\mathbb{R}^d)$

先日埼玉大の坊ゼミでブルブルエンジン兄貴が単位元がない環に対する極大イデアルの存在定理についてトークしていたが, 単位元がない可換環で我らが Banach 環, \(L^1(\mathbb{R}^d)\) でどうなるのか考えている. 時間がなくてサボりっぱなしなのだが, 書いておけば誰か教えてくれるかもしれないという甘い期待を抱いて, 記事を書く. ちなみに, 局所コンパクト Hausdorff 空間 \(X\) 上, 無限遠で消える連続関数がなす環 \(C_0(X)\) も単位元がない可換環になる.

つどいの話の動画化したやつの付録でも簡単に触れるが, \(L^1(\mathbb{R}^d)\) の積は畳み込みで入れる. これは例えば Kadison-Ringrose の本の 3 章に書いてある.



ここでちょっとした表現論をやって Fourier 変換を導出するという話もあって, 結構楽しい.

それはそうと, 畳み込みで積を入れるという話だった. まず積が well-defined になるかという話だが, これは Lebesgue 積分では基本的な議論で確かめられる. 例えば巾等元, または射影があれば極大イデアルがあるのだが, まだこれが作れていない. 頑張ろう. 知っている, またはすぐ作れるという方は教えて頂けると有り難い.