背理法と対偶と脱背理法教育の悲しみ: かもさんのツイートまとめ

本当によくわからないが面白そうなのでまとめておいた.

今日、高校の数Aについて学生さん達と話してて、学生が、対偶による証明と背理法がぐちゃぐちゃになってる理由が少し分かった気がした。一緒にぐちゃぐちゃに教えられてんだな。
— Yukiko (@paulerdosh) 2014, 7月 7

@paulerdosh @hamukazu 今の教科書は知りませんが、旧課程・数Aの段階だと背理法の良い例がないです。「√2が無理数」を示してる教科書も￥は進学校向けの難しい教科書だけで、易しい教科書だと「最大の自然数が存在しないこと」を例題に挙げてるだけなので、逆に理解が難しい
— Paul Painlevé@Paris (@Paul_Painleve) 2014, 7月 7

@Paul_Painleve @paulerdosh @hamukazu そもそも、高校の数学で本質的に背理法が必要な議論って何かありましたっけ？ 否定導入ではなく。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

@CinderellaJapan @paulerdosh @Paul_Painleve @hamukazu 2の平方根が有理数でないことの証明で背理法が本質的には使われていないことは、有名な話です。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

@kamo_hiroyasu @paulerdosh @CinderellaJapan @Paul_Painleve @hamukazu 本質的に必要な証明はないはずですよ。背理法で示せる命題は全て直接証明できることが示されているはずですから。
— ネオ・タケシ (@tak_eroacc) 2014, 7月 8

「証明に背理法が本質的に必要」の定義は「古典数学で証明できるがBishop流構成的数学で証明できない」です。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

（つづき）そう定義しておかないと、背理法のかわりに排中律なり二重否定除去なりを使って見かけの上でだけ背理法を消すことができてしまって、無意味ですので。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

@kamo_hiroyasu すみません、そもそも背理法って二重否定除去律なんですか？否定導入則っぽくも見えるんですが。
— ytb (@ytb_at_twt) 2014, 7月 8

@ytb_at_twt 言葉の定義の問題ですが、推論規則 ¬A,Γ⊢⊥ ⇒ Γ⊢A をRAA(reductios ad absurdum)と呼び、その日本語に「背理法」をあてるのが一般的なようです。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

@ytb_at_twt 否定導入を「肯定的背理法」、狭義の背理法を「否定的背理法」と呼ぶ文献を見たことはあります。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

「証明に数学的帰納法が本質的に必要」の定義はどのあたりが妥当でしょうか。「RobinsonのQで証明できない」では広すぎ？
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

否定導入を背理法に含めるかどうかの言葉の定義の問題になりがちで嫌なのだけど、重要なのは、否定導入はほとんど否定の定義のようなものであって、全然、非構成的ではないことです。なので、否定導入と（狭義の）背理法は全然違います。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

否定導入と背理法の話は、典型的な「背景を知らない人には単なる言葉の問題に見える」話で、ツッコミづらいのです。例の脱背理法はそこを突いたともいえます。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

あまりにも悲しい.
最後に祈りのような一文で締めておこう.

学生にできる最大の社会貢献は、今学んでいることをきっちりと習得することです。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 7月 8

日付: 2014-07-08T23:24+0900