常微分方程式論の Picard-Lindelof の定理

常微分方程式についてたんじぇさんとやりとりした内容を記録しておきたい.

Picard-Lindelof の定理ってリプシッツ連続性を仮定してるけど, この条件外したときに解が一意に定まらない例とか解が存在しない例ってどんなかなーとゆるふわに考えてる
@f_tangent 教えてください !
@alg_d 分からないから考えてるんです
@f_tangent 早く考えろ
@alg_d 数学ビーム
@f_tangent ありがとうございます ! ありがとうございます !
@f_tangent 余計なお世話かもしんないけど, これに確か解がユニークでない例が載ってた◎http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/400006875X
@matsumoring ありがとうございます! 近日中に見てみます!
@f_tangent 今手元にないのでどのページか分からないのですが, http://www.amazon.co.jp/Introductory-Analysis-Dover-Books-Mathematics/dp/0486612260 の定理が証明されている所のそばに反例があったような記憶があります
@phasetr ありがとうございます! 近日中に確認します.
@f_tangent 今, ちょっと本を確認したら見当たりませんでした. 何かの本で見た覚えはあるのですが. 少し検索したらhttp://books.google.co.jp/books?id=Roncfs7mozAC&pg=PA11&lpg=PA11&dq=picard+theorem+counter+example&source=bl&ots=9UOg\_GLB2D&sig=ZFz9Fyz6I4xpFpbu-iEtuJXRXHs&hl=ja&sa=X&ei=E4ZqUomOFqPiiwL7j4CoBQ&ved=0CFUQ6AEwBA#v=onepage&q=picard%20theorem%20counter%20example&f=falseというので局所解はあっても大域解が無い例というのが書いてありました
@f_tangent あとついでにいうと, \(C^1\) 級の関数は必ず局所リプシッツになるので, それについて局所解は必ずあることになります. どんな例を作りたいかによりますが, 自分で例を作るなら本当に微分出来ない関数から探してこないとあまり嬉しいことができない可能性があります
@phasetr 結構アレな反例になりそうですね...自分で考えてみます.
@f_tangent \(x''(t)=x^{2/3}\) ですか?
@ano_KTOK_ 2 階だとまだ扱ってないのでよく分からないのですが, 右辺がリプシッツ連続でないので解の一意性は保証されなそうですね
@f_tangent ごめん, \(x'(t)=x^{2/3},x (0)=0\) の間違えや w この時, \(x (t)=t^3,x (t)=0\) が解になる w
@ano_KTOK_ 追記ですが, お身体は大丈夫なのですか...
@ano_KTOK_ あ, 本当ですね, ありがとうございます. 多分初めてこういうの見ました
@f_tangent いま w ちょうどご飯食い終わって, TL みたら面白そうなこと書いていたのでつぶやいてみた w マシにはなったが, 頭はクラクラしている w やることやったらもう寝る w
@ano_KTOK_ 善導はとてもありがたいです. お身体にもお気をつけください...
@phasetr @f_tangent \(y'=2 \sqrt{y}\) は連続関数 \(f (t,y)=2 \sqrt{y}\) に対する正規型一階常微分方程式ですが, \(y_1 (t)=0\) は初期条件 \(y (c)=0\) の解で, \(t<c\) で \(y_2 (t)=0, t \geq c\) で \(y_2 (t)=(t-c)^2\) も同じ初期条件での解です.
@derived_kai @phasetr 意外とあるもんですね...参考にさせていただきます

確か上で「見た覚えがある」書いた例では, この辺のルートを使っていたような覚えがある. 自分で例が作れないというのも情けない限りだが.