Twitter まとめ：統計力学の数学

統計力学の数学と言っても色々な数学がある. 極端な例だが, 物理ではほぼ死んでいる (意味がない) エルゴード問題について, 数学ではむしろ非常に重要な概念として一部分野ではよく出てくる. もちろん, 元が物理と関係が深かったりする確率論や作用素環ではある意味当然といえば当然なのかもしれないが. これやこのツイートを見て色々なことを思った. 作用素環だと centrally ergodic とか, 物理と関係ない状況でも出てくる, ということくらいは書いておきたい. 以下 Twitter のまとめ.

Ergodic theoryのゼミはやることになりそうだな。 数学での発展でこんな感じだったんだとgoogle booksで軽く確認。 田崎さんの本の注まで読んでいない人は「エルゴード仮説」と一緒にして軽視しそう。 

@forest8810 実は、僕は、君とエルゴード理論のゼミをする予定になっている者です。 提案なのですが、統計力学の数学的構造の本も一緒に読むと、エルゴード理論の本の理解が深まるようなのですが、興味は有りますか？ また、興味を持ちそうな人は周りにいますか？ 

@koplpynwa そうなのですか。 興味はあるのですが時間がないかもしれませんね。 僕は来年度から物理系に進むものなのですが、ゼミの本も、最終的に岩波の『力学系』に落ち着いたみたいなので今の段階では十分かなと思っています。 確かに物理との対応はみていくつもりですが。 

@koplpynwa 統計力学の数学的構造の本とは具体的にどんな本なのですか？ 時間はとれそうにないですが、興味があります。 

@forest8810 Ruelleという人の、statistical mechanicsという本です。 あと、僕は君をエルゴード理論のゼミに誘った張本人です。はい、誰かわかりましたね。 

@koplpynwa そうなんですね（笑）。 ちょっとびっくりしました。 世間は狭いなあ。 関心のある子はいますがゼミ死しそうなので時間がなさそうですね。 本はgoogle bookで見ました。まとまってはいそうですが、おそらく量子統計ですね。 

@koplpynwa 作用素環論につながるにおいを感じますが。 統計力学というよりは、多体系（多粒子）の量子力学というイメージがあります。 

@koplpynwa どちらにしても別に日をとってゼミをする時間はなさそうです。 最適輸送も結局、時間が多くは予習にとれないので今日断ったりした感じなので 

@forest8810 あと悪いんだけど、ゼミの連絡とかDMでやりたいから、フォローしてもらえますか？ 

@koplpynwa 了解しました。 

@koplpynwa @forest8810 その本は滅茶苦茶読みにくいのでやめた方がよいです． 目的によりますがあまり物理っぽくなくエルゴードも全くないですが， 量子統計なら新井先生の量子統計力学の数理， 古典統計なら場の量子論と統計力学（のイジング周り）の方がもう少し読みやすいです 

@koplpynwa @forest8810 目的に応じて他の選択肢もありますし，適当な本のこの部分を読むとこんなことは分かる，くらいのことは言えます． http://www.nicovideo.jp/watch/sm10262952 やhttp://www.nicovideo.jp/watch/sm15366896 で雰囲気を掴めるかもしれません 

@phasetr 和書で、薄い本があるのを前にみたのですが、それはどうなんでしょう？ たしか樋口さんという方が書いていたと思います。 

@phasetr @koplpynwa ありがとうございます。 とりあえず、ゼミでは岩波の現代数学の基礎の『力学系』でやっていくもようなので関連でまた考えていきます。 

@koplpynwa http://www.amazon.co.jp/dp/4795268703 でしょうか． これは読んだことないので詳しくは分かりませんが，古典統計の本です． 何を持って統計力学の数学とするかによりますが，話題としては多少の偏りはあるでしょう 

@phasetr それではなく、「統計力学」 というタイトルの本のことをいったのですが、自分で調べてみます。 percolationやself-avoiding walkに興味があるのですが、最近はどのような研究がされているのでしょうか？ 

@koplpynwa 勘違いしていてすみません。 そちらもみていませんが、スピン系でやはり相転移周りの話です。 確率周りは詳しくないのですが、tetshattoriさんがその辺近い人なので聞いてみると早いかもしれません 

@koplpynwa @forest8810 横レスすみません（相転移Pさんの呟きを偶然見たので）． お探しの樋口さんの統計力学はhttp://ow.ly/jyLSG の3冊目かと． 樋口さんの和書はそれぞれ表題どおりの教科書で，読みやすくかつ良書で，どれもお薦めです

この辺から私と服部さんの対話に移る.

@tetshattori ふと思ったのですが，古典連続系の統計力学だとどんな本があるのでしょうか． 量子連続系だととりあえずBratteli-RobinsonとStability of matter関係の文献かと思うのですが， 古典連続系はぱっと思い浮かばないもので 

@phasetr あ，もちろん昨日今日話題になっていた樋口さんの統計力学とかも基礎的なことを抑えてあったはずですが （どういう水準のものを求めているかにも依ってきますが…） 

@tetshattori このくらいを知っていればある程度を論文を読めるようになる，という程度の感じです． Bratteli-RobinsonもStability of matterも論文ある程度読めるようになる感じの本だと思うので， 対応する古典系の本は何かあるのだろうか，という 

@phasetr それは難しい注文ですねえ，原著論文遡って何とかした世代（というか， 出自が統計力学じゃ無いので，そうやって間に合わせた，というべきかもしれない）なので， もうちょっと要領の良い方法があるはずですが…参考にならずですみません 

@tetshattori 私も勉強が偏っているので何とも言えませんが， イジングや関連する確率幾何と相転移関係のものは充実しているのに，どんな文献があるかすら知らないのも情けないと思ったので， せっかくの機会なので少し伺ってみようと思いまして．ありがとうございました

古典統計, 結局あまりよく知らない. 量子統計だからといって分かっているわけでもないのだが. 世界は広い.

追記

Ruelle の本は Statistical Mechanics ではなく Thermodynamic Formalism ではないかという, とある専門家のタレコミがあった.



タレコミで教えてもらった このレビュー によると Thermodynamic Formalism はエルゴード理論の話が中心のようで, Statistical Mechanics 以上の地雷という可能性があるようだ. 少なくとも初学者が読む本ではない模様. 初学者というのは曖昧な言い方だが, 統計力学の数理物理のバリバリの専門家にしか読めないという程度の意味を想定してほしい. とりあえず私は Ruelle の Statistical Mechanics がほぼ全く読めなかったし, 今でも読める自信はないので, 数学・物理共に私を明白に越える力があると思えない人は読まない方がいい.


エルゴード関係なら多分素直に数学で定評のある本を読んだ方がいいだろう. ある程度物理にも配慮しながら相転移方面の数学を学びたいという方は, 原・田崎の Ising 本を待とう. 今は査読状態なので ここ からメールすれば草稿は読めるが, あの状態ではまだ非専門家が読めたものではないので, 査読ついでに勉強したい, という向きには勧められない.

サポートを受けつつ読みたいという方がいらっしゃれば, Twitter かプロフィールのところにあるメールアドレスまでご連絡を頂ければ, 私の方である程度はサポートすることはできる. より良い本にするためにも相転移の数理物理の非専門家からの意見は貴重だと思うので, できる限りのサポートはしたい.