数論と相転移に付随する自発的対称性の破れ：Connes 論文と新井論文の紹介

この辺 からの mr_konn さんとブルブルエンジン兄貴のやり取りで, 数論 (代数的整数論) での両側剰余類の話が出てきた. 私自身は使ったことないが, Connes の数論での相転移論文にも出てきたことを思い出した. Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory という論文だが, 学生時代は学生時代できちんと読もうとして訳が分からず挫折した経緯があり, 結局あまり内容を把握していない. 時々 Twitter でネタにするので, この機会に軽く眺めてみようと思い, 自分用メモとして残しておく.

あと, 関係する話として新井先生の Infinite dimensional analysis and analytic number theory という話もある. 両方とも量子統計と数論の関係がテーマで, 分配関数が Riemann の \(\zeta\) になる, という話. 新井先生の論文の方は直接的に Fock 空間と第 2 量子化作用素の話をしていて, 数学的にはこちらの方が簡単で読みやすい. ただ, 基本的には全く違う話なので両方読み比べた方が楽しいだろう.

では Bost-Connes 論文のメモに入る. 念の為, 先に書いておくと, (量子) 統計や相転移の物理については田崎さんの本がいいだろう.

  
作用素環で相転移を扱うという場合, とりあえず量子統計のセッティングで話をする. 特に \(C^*\) (または \(W^*\)) 力学系の話になる. そこで分配関数が \(\zeta\) になる, という方向に持っていく. イントロで相転移や自発的対称性の破れについても直観的な説明が書いてあるので, 興味がある向きはそれも参考にされたい. この論文では素数の分布と自発的対称性の破れの関係を論じている.

\(C^*\) (\(W^*\) でもいいが) 力学系は, \(C^*\) 環 \(A\) と \(A\) 上の強連続な自己同型群 \((\sigma_t)\) の組のことをいう. Hilbert 空間上の連続なユニタリ群は (半群理論からでもいい) Stone の定理 によって, 自己共役作用素 \(H\) を使って \(U_t = e^{itH}\) と書ける. GNS 表現にして考えてもいいが, \(C^*\) 環上でも (半群理論から) 直接 \(\sigma_t = \mathrm{Ad} \, e^{itH}\) のように書ける. この Hamiltonian \(H\) のスペクトルが色々大事な情報を持っている. 新井論文では実際に適当な Hamiltonian を構成して, Riemann の \(\zeta\) を作っている. von Neumann 環でいうと, KMS 状態が意味を持つのは III 型環だけだ, というのもメモしておこう.

KMS 状態とその端点分解の一般論が出てくる. まず状態の空間が定義から凸集合になり, さらに KMS 状態の集合自体も凸集合になる. そうすると KMS 状態による端点分解ができてそれ自体が熱力学的な純粋相を表す, という話があるが, この論文ではそれが数論の数学としても大事なようだ.

P413 あたりから今回のターゲットの \(C^*\) 環が Hecke 環だという話になってくる. \(\mathbb{C}\) の格子の Hecke 対応とか何とか出てくるがよく知らない. ここで double coset \(GL(2, \mathbb{Z}) \setminus GL(2, \mathbb{Q}) / GL(2, \mathbb{Z})\) が出てくる.

適当な条件下で離散群 \(\Gamma\) とその部分群 \(\Gamma_0\) から convolution algebra として Hecke 環ができるらしく, \(\ell^2 (\Gamma_0 \setminus \Gamma)\) への Hecke 環の正則表現の閉包として \(C^*\) 環を作る. また脱線するが, 群のユニタリ表現から作用素環を作るというのは標準的な方法だ. 一般に \(C^*\) 環内での functional calculus から \(C^*\) 環の全ての元はユニタリ作用素で書ける. したがってユニタリを指定すれば作用素環が決まると言っていい. von Neumann 環だと射影でもいい.

Prop 4. では自己同型群を作っている. 記号からしても KMS のモジュラー自己同型群だろう.

P415 で力学系の相転移に付随する自発的対称性の破れの記述がはじまる. \(\mathbb{Q} / \mathbb{Z}\) 上の関数 \(\psi_{\beta}\) を, 適当な素因数分解を使いつつ定義する. 面倒なので \(P\) の定義は論文を見てもらうことにして, \(\Gamma = P_{\mathbb{Q}}^+\), \(\Gamma_0 = P_{\mathbb{Z}}^+\) とすると, \(\mathbb{Q} / \mathbb{Z} \subset \Gamma_0 \setminus \Gamma / \Gamma_0\) になり, ここから Hecke 環や \(C^*\) 環の包含も出る. この辺をうまく解析すると主定理の Theorem 5. になって, Riemann の \(\zeta\) が出てくる. \(\mathbb{Q}^{\mathrm{cycl}}\) とか数論っぽいのが色々出てくる. また Galois 群 \(G = \mathrm{Gal} (\mathbb{Q}^{\mathbb{cycl}} / \mathbb{Q})\) が自己同型群として作用して, しかも時間発展 (KMS のモジュラー自己同型) と可換になり, これが自発的対称性の破れを記述する, とのこと. Theorem 5. の証明の前に力学系と素数の分布の関係の説明をしよう, といって節が変わり, 2 節になる.

2 節の冒頭で E. Nelson の「第二量子化は functor である」という言葉が引用される. この Nelson は 2011 年に The Inconsistency of Arithmetic で話題になった Nelson だ. 今は基礎論あたりにいるが, 元々構成的場の量子論にいた人だ, という小ネタをはさんでおこう. 第二量子化周辺の話が簡単に説明される.

今はじめて知ったのだが, P417 の Lemma 6. がハイパー強烈だった. 冷静になって考えて見れば当然という感はあるのだが. \(\mathcal{P}\) を素数の集合としよう. \(T\) が Hilbert 空間 \(H\) 上の自己共役作用素として, \(T\) の第 2 量子化作用素を \(\mathbf{S} T\) としよう. このとき, \(\sigma (T) = \mathcal{P}\) と \(\sigma (\mathbf{S} T) = \mathbb{N}^*\) が同値, という命題だ. ここで \(\sigma(T)\) は \(T\) のスペクトルを表す. 第 2 量子化作用素の定義を省いているのでアレだが, 単なる素因数分解だ. 証明は論文に書いてあるので, 興味がある向きは参考にされたい. というか, どこかで話してもいいかもしれない.

それで上の \(T\) を使って, 次のように Riemann の \(\zeta\) が定義できる： \begin{align} \mathrm{Tr} \left[ (\mathbf{S} T)^s \right] = \frac{1}{ \det (1 - T^s)}. \end{align} ここまで来て分かったが, 上記の新井先生はこの命題を基礎にして, Fock 空間上で直接色々やっている. 以前はここまですら読んでいなかった, という個人的衝撃の事実が発覚した. もう少し読んでおけばよかった. 要はボソンの場の量子論と数論に関係があるという話だ. 一応書いておくと, 当然フェルミオンとも関係があって, 双対性だとか超対称性うんぬん, という話が新井先生の論文に書いてある. 2 節, 単独で読んでも面白そうだ. 今度どこかで話してみたい.

3 節では 2 節で作った \(C^*\) 力学系と数論の概念を関係づけ, Theorem 5. の Hecke 力学系を作っている. 局所コンパクト群とか Haar 測度だとかも出てくるので, 色々な数学が交錯する姿を見てみたい学部生が読んでも面白いだろう. 当然ながら \(p\) -進数や付値なども出てくる. アデールだとか, 学生時代, 非可換幾何をやっていた先輩の話で出てきたな, という程度の知識しかないので適当に読み飛ばした.

派手に飛ばして, 6 節で \(\beta > 1\) KMS の分類をし, 7 節で \(\beta \in (0, 1]\) での KMS 状態の一意性を議論している. III 型環とかがちゃがちゃ出てくるので面白そうだが手に負えない.

最後, 参考文献に Araki-Woods や Connes-Takesaki, Bratteli-Robinson, Haag, Pedersen の有名な論文や教科書がある中, Dirac, Serre, Shimura, Tate, Weil があるのに爆笑した. 色々な数学が交錯する姿が見られる論文なので, 興味がある向きはアタックされたい.

追記

ご興味を持って頂けそうだったので, knyokoyama さんにこの記事を読むように強要した. その辺のやりとりが ここ からはじまる.

@knyokoyama あまり細かいところには触れていませんが，ご興味があるかと思ったので， 自分で書いたものですが，ご興味があれば． 数論と相転移に付随する自発的対称性の破れ：Connes 論文と新井論文の紹介 http://goo.gl/fb/XEsEh よく分からない数学 

.@phasetr BostConnesと新井先生の論文を読み比べるに同意 

@phasetr 読み比べようとするも、BostConnesと新井先生の論文は、全く別の話です（phasetrさんのブログに別ものと記載あり）． ＊＊＊比べられない．＊＊＊ 

@knyokoyama もちろん全く違うのですが，ゼータと量子統計という大きなくくりで見て色々な展開が想像できるので， それを考えると楽しいだろうという話です． 解析数論と数論的関数，超対称性や双対性の数論的反映と，数論での相転移など，量子統計・場の理論の多彩な展開がみられるので 

@phasetr おっしゃるとおりです．ご紹介，感謝いたします． 

@knyokoyama 比べる、という言い方がまずかったか、という気はします 

@phasetr ありがとうございます．結構、楽しく読ませていただきました． リーマンゼータの導出や、驚きのlemma6、（素因数分解定理の言い換え）？！、時間発展までは、 共通、、、その後は、全く別モン．かたやKMS条件から円分体、かたや数論的函数とSUSY．双方素晴らしい 

@knyokoyama 書こうと思って忘れていたのであとで追記しようと思いますが， あの補題（とそのあとの分配関数）がゼータの零点が自己共役作用素の固有値問題に結びつくというHilbert-Polyaの話なのでしょう． 最近は若山先生の非可換調和振動子などもあるようですが

Hilbert-Polya 予想については ここ などを見てほしい：英語版の Wikipedia だ.