数学，物理，数理物理での内積関係の記法，記号

Twitter で少しやりとりしたので簡単にまとめておこう． どういう意味で取るかはかなり微妙なところだが「初学者」には分かりづらいようだから．

面倒なので全部関数空間で考える． 定義域は適当に \(\Omega\) にして，関数は \(f\), \(g\) あたり． 作用素(演算子) は \(A\) にする．

数学での記法

複素共役を \(\bar{f}\) として，内積は次で定義する． \[ \langle f, g \rangle := \int_{\Omega} f(x) \overline{g(x)} dx. \] 左の引数(第一引数)を線型にして右の第二引数を反線型にしたい，という人情を表す． 内積自体には次のような記号を使う： \((f, g)\) ，\((f|g)\) ，\(\langle f, g \rangle\) ，\(\langle f | g \rangle\) ． 多分一番最初の記号が一番一般的だろう． 私自身は \(\langle f, g \rangle\) を使っているが，これは勉強した本である量子力学の数学的構造と Bratteli-Robinson の記号を踏襲したことによる． 作用素の共役は \(A^*\) のようにスターで書く．

全く関係無いが大学一年の頃，演習の質問でスターを「雪印」と呼んだ友人がいて， 「これはスターと読みます．」と突っ込まれていたことを想起した．

物理での記法

複素共役を \(f^*\) として，内積は次で定義する． \[ \langle f | g \rangle := \int_{\Omega} f(x)^{*} g(x) dx. \] 演算子の共役は A^{\dag} と，ダガーで書く．

数理物理での記法

端的に言って滅茶苦茶だ：数学の記法と物理の記法のチャンポンになっている． 同じ人でも時と場合によって記法を変えることがある． 例えば新井先生は数学系の論文では \((f,A^* g)\) で複素共役もバーを使う数学よりの記号だと思うが， 物理の人が多そうな文献では物理の記法を使う． 分類の仕方が微妙なところだが，数理物理の文献では大体数学の記法である中， 内積の第一引数を反線型に取ったりする．

ちなみに私自身はチャンポンの記号を使っている． これは Bratteli-Robinson の記号を踏襲したことによる． 内積は第二引数を線型に取る物理の記法だが，複素共役と作用素の共役は数学の記法だ． 見ると分かるが，量子力学の数学的構造と Bratteli-Robinson でも記号が違う．