黒木さんによる某 S 先生の追憶と量子化された $\tau$ 関数とかけ算と

黒木さんによる某 S 先生の追憶の記録.

学部 3 年~4 年のときに某 S 先生が二年続けて集中講義に来たのだが, \(1,2,...,n\) ではなく常に \(0,1,...,n-1\) とする主義を徹底していることにびっくりした. ぼくは \(1,2,...,n\) がいいと思う. ぼくはいまだに \(\tau\) 函数 (ただし量子化 (←超重要) されたやつ) を研究している.
無限自由度可積分系 (ソリトン系) の \(\tau\) 函数の量子化は場の量子化なのでを現時点では大変過ぎに感じる. しかし, ソリトン系の有限自由度への簡約のいちパターンであるパンルヴェ系の \(\tau\) 函数であればとても綺麗に量子化できる場合がある. (俺しかやっていないのでできていない場合も多い. 謎だらけ!)
現時点で量子化できているパンルヴェ系の \(\tau\) 函数は対称化可能 GCM に付随する野海・山田 arXiv:math/0012028 の \(\tau\) 変数への Weyl 群作用の量子化. \(\tau\) 変数への Weyl 群作用の結果の正則性 (従属変数 \(f_i\) について多項式になること) の量子化も証明できている.
パンルヴェ系のパラメーターはコルート \(\alpha_i^{\vee}\) に, \(\tau\) 変数 \(\tau_i\) は基本ウェイトの指数函数 \(\exp (\Lambda_i)\) に, 従属変数はシュバレー生成元 \(f_i\) に対応している. 量子化するためには全部適切に非可換にしなければいけない. シュバレー生成元の非可換性はセール関係式. 続く
続き. 問題は基本ウェイトの指数函数 \(\exp (\Lambda_i)\) に対応する \(\tau\) 変数 \(\tau_i\) にどのような非可換性を入れるのが正しいのか. これがなかなかわからなかった. わからなかった理由はパラメーター \(\alpha_i{\vee}\) たちがすべてと可換 (中心元) だという先入観である. 続く
続き. 基本ウェイトはコルートの双対基底である: \(\Lambda_i, \alpha_j^{\vee} = \delta_{ij}\). 普通の量子力学ではこういう場合は \(\Lambda_i\) は \(\alpha_i^{\vee}\) の共役運動量だということになる. 素直に考えれば Λ_i の量子化は ∂/ ∂α_i^\vee である. これで正解. 続く 返信 リツイート お気に入りに登録 詳細 黒木玄 Gen Kuroki ‏@genkuroki 5 時間
中略
続き. ある種の \(q\) 差分版の Weyl 群双有理作用の量子化は長谷川さんの http://arxiv.org/abs/math/0703036 で構成されている (\(q\) 差分化と量子化を厳密に区別していることに注意). ぼくの量子展開環版の Weyl 群双有理作用は長谷川さんの作用をそのままでは再現しない. しかし, 続く
中略
続き. なんとなく, ツイッターでするべきではない話をがんがん大量に書いてしまっているような気がしないでもない. ぼくのツイートを掛算順序関係の話題しか読んでいない人は, ぼくが掛算が交換不可能な場合の専門家であることは知っておいた方がいいかも. 分数の計算が死ぬほど大変. 続く
中略
続き. 以上のような話を来週の 2/15 (土) にする予定です. 詳しい情報はリンク先にあります. https://sites.google.com/site/seminaratkomaba/ …

途中の記述に号泣した.

続き. なんとなく, ツイッターでするべきではない話をがんがん大量に書いてしまっているような気がしないでもない. ぼくのツイートを掛算順序関係の話題しか読んでいない人は, ぼくが掛算が交換不可能な場合の専門家であることは知っておいた方がいいかも. 分数の計算が死ぬほど大変. 続く