Hahn-Banach を使った Markov-Kakutani の不動点定理の簡単な証明

チャーハニスト鈴木と次のようなやりとりをした のでその記録をしておきたい.

あそうだ, セミナーのノート整理してて思い出した. 【ゆるぼ】 Markov-Kakutani の不動点定理の主張が書いてある pdf (和洋文問わず) 

@mszk_p きちんと読んでおらずさっと見つけただけですが http://page.mi.fu-berlin.de/werner99/preprints/markkaku.pdf などはどうでしょうか. ちなみに filetype:pdf として検索すると pdf だけ引っかかるようになります 

@phasetr そのオプション知りませんでした. どうもありがとうございます.

PDF は Dirk Werner による 『A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem』というタイトルの文章だ. 2 ページしかなく難しくもないので興味がある向きは読んでみてほしい. 定理も引用しておこう.

Theorem
Let \(K\) be a compact convex set in a locally convex Hausdorff space \(E\). Then every commuting family \((T_i)_{i \in I}\) of continuous affine endomorphisms on \(K\) has a common fixed point.

次の補題を挟んで証明する. この補題を Hahn-Banach を使って鮮やかに示すというのがポイントだ.

Lemma
Let \(K\) be a compact convex set in a locally convex Hausdorff space \(E\), and let \(T \colon K \to K\) be a continuous affine transformation. Then \(T\) has a fixed point.

不動点定理, 楽しい.