論文紹介：Buchholz-Grundling の Quantum Systems and Resolvent Algebras

Buchholz-Grundling による survey, Quantum Systems and Resolvent Algebras が arXiv に出ていた. これ だ. 以前から resolvent algebra の論文は出ていたが, それに関するまとめらしい. Resolvent algebra を使うと何となく計算がうまくいきそうな感じもするので, 使ってみたいと思っている. また Araki-Woods algebra の代わりに resolvent algebra を使った場合の自由場の BEC を調べることで親しんでみようとか思っているのだが, 滞りまくっている.

Resolvent algebra というのは大雑把にいえば非有界作用素のレゾルベントを取ることで有界作用素にし, その有界作用素から作用素環を作るという話. Araki-Woods algebra は非有界 (自己共役) 作用素 \(A\) からスペクトル理論を使って \(e^{iA}\) (有界作用素) を作り, これから作用素環を作るという話. レゾルベントの方が色々振舞いがいいのに何故かほとんど研究されてこなかったが, 何か色々な性質がよくて嬉しいから皆もやろう, ということで論文になっている.

アブストを見るとすぐ出てくるが, 量子系の運動学的な構造をモデル化するのによいらしい. この辺まだあまりよく分かっていない.

Introduction では Segal の場の作用素の話からはじまる.

作用素 \(\phi(f)\) から作る多項式代数は, 自己同型による意味のあるダイナミクスをあまり持っていない. 実際それを不変にするのは多項式 Hamiltonian だけだ.

ということらしい. 知らなかった.

非有界作用素だと扱いが面倒なので, 指数の肩に乗せて有界にする. これは良く知られた Weyl algebra だ.

実は有界作用素にして Weyl 環にすると, 表現論的に元の CCR algebra とは違う環になる. 新井先生の本, 『量子現象の数理』の 3 章では量子力学のときに Aharonov-Bohm に即してこれが議論される. 興味がある向きは見てほしい.

Weyl algebra も物理的に意味のあるダイナミクスを記述する自己同型群を持たないという欠点がある. これは Weyl algebra が単純であることが問題だが, 一方でダイナミクスが豊富な単位的 \(C^*\) 環はイデアルを持たなければならない.

単純環というのは知っているが, ダイナミクスとイデアルの関係はあまりよく知らないので悲しみに包まれている.

この状況に対応すべく, 以前の論文 で resolvent algebra を議論した. この環はイデアルをたくさん持っている. これから出る論文でイデアル構造が基礎となる量子系の大きさに依存していることが示されている. Primitive ideal と resolvent algebra のスペクトルは 1 対 1 に対応している.

アブストを見る限り, 大きさというのは多分あとで出てくる. 色々と役にも立つので皆も研究しようよ, ということも書いてある.

2 章では定義と Fact が書かれている. 命題 2.3 がかなり強烈.

表現が正則 (定義省略) なとき, 表現は忠実になる.
表現が忠実で表現した環の弱閉包が因子環なら表現は正則になる.

Oh, it's… という感じ.

命題 2.4 では正則表現の場合に Weyl algebra との 1 対 1 対応があることを言っている.
章末には Bohr コンパクト化とか出てきてつらい.

3 章ではイデアルと次元の話になる. 次元というのは何か, というところからしてよく知らない. 可換環でも次元があるらしい, というのは聞いているけれども.

定理 3.1 で, 基礎となるシンプレクティック空間が有限次元のときは, 表現が完全に分類できている. これは Stone-von Neumann の一意化定理の拡張にあたるとか書いてある.
定理 3.2 は代数的不変量の話をしているし Remark もあるので大事そう.

命題 3.3 は面白い.

\(I\) を resolvent algebra \(R\) の非零イデアルの共通部分とする.
\(\mathrm{dim} \, (X) < \infty\) なら \(I\) はコンパクト作用素のなす環 \(K\) と同型になる. また任意の既約正則表現で \(I\) を移すと \(K\) になる.
\(\mathrm{dim} \, (X) = \infty\) のとき, \(I = \left\{ 0 \right\}\) になる.

命題 3.4 もやはり大事そう.

\(R\) は核型 \(C^*\) 環になる.
\(R\) が I 型であることと \(\mathrm{dim} \, (X) < \infty\) は同値.

Weyl algebra もそうだが, resolvent algebra も可分でないの, 笑える.
4 章ではオブザーバブルとダイナミクスの話になる. はじめは具体的な Hamiltonian を取って, それを調べている. P10 に resolvent algebra と付随する Hamiltonian の分類が open であることが書いてある.

基礎となる空間の次元が無限大のとき, Haag の定理に関連する結果が予想されるが, それが実際にあるというのが補題 4.3 の模様. とりあえず雑にしか読んでいないのであまりよく分かっていない.

5 章でこう色々とまとめが入る.

イデアルだとか代数的なところがかなり綺麗に運動学的な部分にはまるという話だが, 構成的場の量子論の泥臭いところとどう相互にカバーしあっていくか, という部分がやはり一番気になる.